2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程课时规范训练 新人教A版选修1-1

1 2 2 12 2 1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 基础练习 1 已知点f1 8 3 f2 2 3 动点p满足 pf1 pf2 10 则点p的轨迹是 a 双曲线 b 双曲线的一支 c 直线 d 一条射线 答案 d 解析 f1 f2是定点 且 f1f2 10 所以满足条件 pf1 pf2 10 的点p的轨迹应 为一条射线 2 已知点f1 0 f2 0 动点p满足 pf1 pf2 2 当点p的纵坐标是 22 时 点p到坐标原点的距离是 1 2 a b 6 2 3 2 c d 2 3 答案 a 解析 由题意 知动点p的轨迹方程是x2 y2 1 x 0 设p x y 当y 时 1 2 x2 po 故选 a 5 4x2 y2 6 2 3 椭圆 1 与双曲线 1 有相同的焦点 则实数m的值是 x2 4 y2 m2 x2 m y2 2 a 2 b 1 c d 3 2 答案 b 解析 双曲线的标准方程为 1 m 0 焦点在x轴上 m 2 4 m2 x2 m y2 2 即m2 m 2 0 解得m 1 m 2 舍去 m 1 4 2019 年广西河池期末 焦点分别为 2 0 2 0 且经过点 2 3 的双曲线的标准方 程为 a x2 1 b y2 1 y2 3 x2 3 c y2 1 d 1 x2 3 x2 2 y2 2 答案 a 2 解析 由双曲线定义知 2a 5 3 2 a 1 2 2 2 32 2 2 2 32 又c 2 b2 c2 a2 4 1 3 因此所求双曲线的标准方程为x2 1 y2 3 5 若双曲线 1 m 0 n 0 和椭圆 1 a b 0 有相同的焦点f1 f2 m为 x2 m y2 n x2 a y2 b 两曲线的交点 则 mf1 mf2 答案 a m 解析 利用定义求解 由双曲线 椭圆定义分别可得 mf1 mf2 2 m mf1 mf2 2 a 2 2 得 4 mf1 mf2 4a 4m mf1 mf2 a m 6 设方程 1 表示双曲线 则实数m的取值范围是 x2 m 2 y2 2m 1 答案 2 1 2 解析 方程 1 表示双曲线 m 2 2m 1 0 解得m 2 或 x2 m 2 y2 2m 1 m m的取值范围是 2 1 2 1 2 7 已知双曲线两个焦点的坐标为f1 5 0 f2 5 0 双曲线上一点p到f1 f2的距 离的差的绝对值等于 6 求双曲线的标准方程 解 由于双曲线的焦点在x轴上 故可设它的标准方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 由双曲线的定义得 2a 6 2c 10 则a 3 c 5 b2 52 32 16 所求双曲线的标准方程为 1 x2 9 y2 16 8 已知双曲线的焦点在y轴上 并且双曲线上两点p1 p2的坐标分别为 3 4 2 求双曲线的标准方程 9 4 5 解 由于双曲线的焦点在y轴上 故可设所求双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 点p1 p2在双曲线上 点p1 p2的坐标适合方程 将 3 4 分别代入 2 9 4 5 方程 中 得方程组error 解得a2 16 b2 9 3 故所求双曲线的标准方程为 1 y2 16 x2 9 能力提升 9 2018 年河南许昌九校联考 如图 已知双曲线以长方形abcd的顶点a b为左 右 焦点 且双曲线过c d两顶点 若ab 4 bc 3 则此双曲线的标准方程为 a x2 1 y2 3 b 1 x2 2 y2 3 c 1 x2 9 y2 4 d 1 x2 4 y2 3 答案 a 解析 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 由题意得b 2 0 c 2 3 x2 a2 y2 b2 error 解得error 双曲线的标准方程为x2 1 y2 3 10 2019 年浙江温州模拟 若双曲线 y2 1 n 1 的左 右焦点分别为f1 f2 点p x2 n 在双曲线上 且满足 pf1 pf2 2 则 pf1f2的面积为 n 2 a b 1 1 2 c 2 d 4 答案 b 解析 设点p在双曲线的右支上 则 pf1 pf2 2 已知 n pf1 pf2 2 解得 pf1 pf2 pf1 pf2 2 又 n 2n 2nn 2n f1f2 2 则 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 pf1f2为直角三角形 且 f1pf2 90 于 n 1 是s pf1f2 pf1 pf2 2 1 1 2 1 2 11 已知双曲线x2 y2 1 点f1 f2为其两个焦点 点p为双曲线上一点 若 pf1 pf2 则 pf1 pf2 的值为 答案 2 3 解析 a2 b2 1 c2 a2 b2 2 可得 f1f2 2c 2 又 2 4 pf1 pf2 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 8 p为双曲线x2 y2 1 上一点 pf1 pf2 2a 2 pf1 pf2 2 4 pf1 pf2 2 2 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 2 12 pf1 pf2 的值为 2 3 12 设双曲线与椭圆 1 有共同的焦点 它们在第一象限的交点的纵坐标为 4 x2 27 y2 36 求双曲线的方程 解 椭圆 1 的两个焦点为f1 0 3 f2 0 3 双曲线与椭圆在第一象限的交 x2 27 y2 36 点为a 4 15 方法一 设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 由error 得a2 4 b2 5 a2 36 b2 27 舍去 双曲线的方程为 1 y2 4 x2 5 方法二 设双曲线的方程为 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 2a af1 af2 4 a 2 15 2 4 3 2