第4章 矩阵的分解ppt课件

第4章 矩阵的分解 MatrixFactorizationandDecomposition 矩阵分解的概述 矩阵的分解 A A1 A2 Ak矩阵的和A A1A2 Am矩阵的乘积矩阵分解的原则 实际应用的需要 理论上的需要计算上的需要 显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法之一主要技巧 各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块 4 1LU分解 图灵Turing 1948 LU分解 A Cn n 若A的顺序主子式不为零 则存在唯一的主对角线上元素全为1的下三角形矩阵L与唯一的上三角形矩阵U 使得A LU 例如 Application 可以简化求解线性方程的算法 举例 4 2QR分解 1 利用Gram Schmidt正交化过程的QR分解Theorem设矩阵A Cm n R A n 列满秩 则存在非奇异上三角阵R 和矩阵Q QHQ E 使得A QR Remark 这样的分解称之为QR分解 实施步骤 G S正交化 单位化 4 2QR分解 例P090例4 2 1此例中矩阵是列满秩的例P091例4 2 2此例表明即使矩阵不是列满秩的 也可以用G S正交化方法 但是其QR分解不是唯一的 4 3满秩分解 矩阵的满秩分解对秩为r的矩阵A Fm n 存在秩为r的矩阵B Fm r C Fr n 使得A BC为A的满秩分解 列满秩 行满秩 已知的结论 满秩分解的实现 向量组最大无关组的求法 例求矩阵A的满秩分解 矩阵的满秩分解的做法设A Cm n R A r 对A作行初等变换得行最简形H 若H的首1元分别在H的第j1 j2 jr列 取H的前r行所成矩阵为C 取A的j1 j2 jr列所成矩阵为B 则B Cm r C Cr n 其秩序均为r 且A BC 例P098例4 3 2 例P098例4 3 1 此矩阵为列满秩矩阵 4 4奇异值分解 SingularValueDecomposition Problem 矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解 A Cm n 酉矩阵U Cm m V Cn n 使得A U VH 矩阵A等价于 奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相关的问题A的奇异值分解依赖于正规矩阵AHA的酉相似分解的 一 矩阵A的奇异值及其性质 1 矩阵AHA和AAH的性质 A Cm n AHA Cn n AAH Cm m 都是Hermite矩阵 Theorem2 7 8 P052 秩 A 秩 AHA 秩 AAH AHA和AAH的非零特征值相等 AHA和AAH是半正定矩阵 AHA和AAH的特征值是非负实数 1 2 n 2 奇异值的定义 P099 A Cm n 秩 A r 设AHA的特征值 1 2 r 0 r 1 r 2 n 0 则矩阵的奇异值 二 矩阵的奇异值分解 1 Theorem4 4 1 P099 设A Cm n 秩 A r 则存在酉矩阵U Cm m V Cn n 使得 证明思想 Step1 AHA正规 VHAHAV 酉矩阵V 例求矩阵A的奇异值分解 A Step2 令 得U1 u1 u2 ur 扩充为标准正交基 酉矩阵U 4 5Moore Penrose M P 广义逆 由Moore1920年提出 1955年由Penrose发展 1 Definition设A Cm n 如果 X Cn m 使得AXA AXAX X AX H AX XA H XA则称X为A的M P广义逆 记为X A A 1 A 例讨论原有的逆的概念和M P广义逆的关系 例求下列特殊矩阵的广义逆 零矩阵0 对角矩阵 0 m n 0n m 3 M P广义逆的存在性及其求法Theorem任何矩阵都有M P广义逆 求法 设A满秩分解A BC 则奇异值分解可以用于求广义逆 Theorem4 5 3 P105 设A奇异值分解 则 2 M P广义逆的惟一性 Theorem如果A有M P广义逆 则A的M P广义逆是惟一的 例设 求A 例设 求A 3 M P广义逆的性质Theorem4 5 2 P103 A A A H AH A 1A A列满秩 则A AHA 1AH A行满秩 则A AH AAH 1 A