清华大学05年微积分2期末考试

1 微积分微积分微积分微积分 2 2 2 2 期末试题期末试题期末试题期末试题 05 年 6 月 16 日 A A A A 卷 卷 卷 卷 班级学号姓名总分 一 填空题 16 分 每题 4 分 1 0 lim xx f xA 的 定义是 对任意0 存在0 使得对任意满足 0 0 xx的x 有 Axf 答案只要和定义等价 例如有些地方可以用带等 号的不等式定义 2 幂级数 2 1 23 nn n n x nn 的收敛域是 3 1 3 1 3 级数 1 n n n n na 与级数 1 22 n a n nn 都收敛的充分必要条件是常数a满足 ea 2 1 4 设 xf是周期为 4 的函数 它在区间 2 2 上的定义为 xf 满足 总有相应的 n a aan C存在某个0 0 n a中必有无穷多项满足 0 aan D存在某个0 0 n a中除了有限项外都有 0 aan 6 对任意0 xf在 ba连续 则必有 D A xf在 ba一致连续 B xf在 ba非一致连续 C xf在 ba连续 D xf在 ba连续 2 7 设 1 1 x f x x 为无理数 为有理数 sin 0 1 20 x x x g x x 下列叙述正确的是 A A xf在 1 0 上不可积 xg在 1 0 上可积 B xf xg在 1 0 上都不可积 C xf在 1 0 上可积 xg在 1 0 上不可积 D xf xg在 1 0 上都可积 8 设级数 1n n a条件收敛 将其中的正项保留 负项改为 0 组成的级数记为 1n n b 将 1n n a 中的负项保留 正项改为 0 组成的级数记为 1n n c 则 B A 1n n b与 1n n c必定都收敛 B 1n n b与 1n n c必定都发散 C 1n n b与 1n n c中必定有一个收敛 另一个发散 D以上三种情形都可以发生 三 解答题与证明题 9 10 分 设 2 1 3 30 11 nxxxx nnn 证明数列 n x的极限存在 并求此极限 证明 由 3 30 11nnn xxxx n x且 2 3 3 2 1 3 1 nnnnn xxxxx 2 1 n 又11 3 2 31 3 3 1 nn nn n n xx xx x x 3 2 n n x单调递增有界 利用极限存在准则 数列 n x的极限存在 5 分 其中证明单调性可占 3 分 设axn n lim 则 22 3aaa 2 3 0 21 aa 而0 n x且 n x单调递增 3 故舍去 0 1 a于是有 2 3 a 5 分 10 12 分 求级数 13 n n n 的和 解 显然级数 13 n n n 收敛 故 3 13 n n n 1 1 3 n n n 也即 13n n n 3 1 1 1 3 n n n 这一步不是 必须的 只是简化作用 1 分 下面计算 1 1 3 n n n 考虑幂级数 1 1 n n x n 并令 1 1 n n x nxS 3 分 显然幂级数 1 1 n n x n的收敛半径为 1 在区间 1 1 内 1 1 n n x nxS可以逐项积分 2 分 故 1 1 00 n n xx dtndttS t 1 1 1 1 x x x x n n 3 分 从而 2 1 1 1 xx x xS 1 1 x 2 分 故 3 1 S 4 9 1 1 3 n n n 于是 13n n n 4 3 3 1 1 1 3 n n n 1 分 11 14 分 把下列函数展开为x幂级数并指出收敛域 1 xxfarctan 解 1 1 1 1 1 arctan 2 0 2 xx x xxf n n n dxxdxxdxxf n x nn xx 0 0 2 00 1 arctan xxfarctan 1 1 12 1 0 12 xx n n n n 5 分 当1 x时 0 12 1 n n n 是莱布尼茨交错级数 因而收敛 所以xxfarctan 1 12 1 0 12 xx n n n n 为收敛域 4 分 4 2 把dx x x xf x 0 arctan 展开为x幂级数 1 12 1 12 1 arctan 0 12 2 0 2 0 0 xx n dxx n dx x x xf n n n x n n n x 5 分 12 12 分 证明定理 如果存在一个收敛的正项级数 1n n c 使得对所有的Ix 都有 Nncxu nn 则函数项级数 1 n n xu在I上一致收敛 证明 1n n M 收敛 mn MMNnmN 1 0 4 从而 1 nm xIuxux 6 从而 1 n 4 分 n ttt n tdtt n xdxnxb n nn n 2 sincos 1 sin 1 sin 2 0 2 0 2222 2 0 4 分 最后2 2 0 0 dxxa 分 所以 xf的 Fourier 级数为 xxx 3sin 3 2 2sin 2 2 sin 2 1 14 8 分 证明函数项级数 1 1 1 1 n x nxnx 在区间 0 不一致收敛 5 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 1 n n k n k x Sx kxkx kxkx nx 证明1 因为 3分 lim 1 0 1 0 n n n Sxx SxS xx 所以 即的极限函数是 4分 0 0 1 2 2 1 6 1 1 1 1 N N n xN Sx SxS x x nxnx 0 对和任意自然数 取则有 分 所以不能在 上一致收敛到它的极限函数 所以 1 k 0 在区间不一致收敛 8分 1 1 1 1 1 11 1 11 np k n np k n n p x kxkx kxkx 证明2 对任意自然数有