让学生的个性品质在难题突破中得到升华--一道高考数学压轴题的突破感悟

高中版高中版 2014 年 5 月 考试 研究 考卷解析 从2004年开始 数学高考在考查基础知识 基本能 力的基础上 个性品质的考查首次被列入了 考试大 纲 个性品质是指考生个体的情感 态度和价值观 要求 考生克服紧张情绪 以平和的心态参加考试 合理支配 考试时间 以实事求是的科学态度解答试题 树立战胜 困难的信心 体现锲而不舍的精神 1 多年来 个性品质 一直是高考隐性考查的内容 但高考是如何考查学生个 性品质的 这方面的研究文章相对较少 数学高考是难 度和速度兼有的考试 一直以来 数学高考成为了众多 学生心中的痛 这不只是因为会做的题做错 更多的是 其中有些题只能望尘莫及 徒留一声叹息而已 这就是 高考中所谓的难题 平时通过对难题进行有意识的突 破 不仅能有效提升学生的个性品质 更重要的是为了 在高考中少留一些遗憾 下面是笔者在课堂上对一道高 考压轴题的突破历程 借此谈谈个人在这方面的一些看 法 高考题目 2013年高考课标第 卷文21 己知函 数f x x2e x I 求f x 的极小值和极大值 II 当曲线y f x 的切线l的斜率为负数时 求l在x 轴上的截距的取值范围 一 选题原则 导向为先 平常每次考试 学生都很难突破此类题 久而久之 学生心理上已经将其归为难题了 加上2013年高考 命 题者将传统的直线与圆锥曲线题前移后 此题也确实承 载了压轴的重任 而用导数研究函数的性质是新课标倡 导的理念 也将其确定为核心知识 难怪高考要重点考 查这方面的内容了 二 突破历程 步步惊心 这道题以具体函数为背景 求函数的极值和参数的 取值范围 一看就很常规 不但题目不长 而且读起来也 很有亲和力 让人有一种很想求解的冲动 但一经上手 就会发现 众多的困难立马呈现在面前 每走一步都很 艰难 甚至步步惊心 加上又被安排在压轴题的位置 很 多考生一路披荆斩棘 到此已人困马乏 而且两个小时 也已所剩无几 这就是高考命题者所要创造的场景 对学 生的数学能力和个性品质都提出了较高要求 很难还原 学生高考时突破此题的心路历程 但沿着求解思路 对 一些可能出现的难点做一些突破的探索是非常有必要 的 而且对学生完整解决此题所需的个性品质进行全面 的呈现就更难能可贵了 难点1 第一问求解的基本思路是 求定义域 求导 函数 求驻点 讨论单调性 求极值 其中最关键的是求 f x 的导函数 视其为积求导 这一点学生都能想到 但 在求e x的导函数时 多数学生碰到了困难 而且在此处出 错 可想而知 这将会导致整道题求解失败 于是如何突 破此难点 将在一定程度上决定了学生能否以平和的心 态继续下去 突破1 由解题的熟悉化原则可知 联想到导数公式 ax axlna 只要将e x化为 1 e x后再使用公式即可 这看 似不难突破 但如果对导数公式不熟悉 负指数幂的定 义不明白 终将很难实现以上转化 而且运用公式后还 将进行ln 1 e 1的运算 这又对对数的运算和性质进行 了考查 只要有一点知识掌握不到位 上面的转化再精 彩 也很难实现正确地突破 由此可见高考命题者的良 苦用心 突破2 若视y e x为幂函数 则常会犯 e x e x的典 型错误 事实上 如果设 x 则y e 可见y e x是由内函 数 x和外函数y e 复合而成的复合函数 有了此概念 的澄清 后面只需使用复合函数的导数运算法则即可顺 利突破此难点 当然 新课标文科教材不涉及此内容 考试大纲 也未将其列入考试范围 若用此法 则有超 纲之嫌 但若理解 则此处将不再成为难点 能够拿下第一问 多数学生均已满足 而且此时考 试时间已所剩无几 很大程度上 第二问已形同虚设 所 让学生的个性品质在难题突破中得到升华 一道高考数学压轴题的突破感悟 筅江苏省西亭高级中学蔡小冲 52 高中版高中版 2014 年 5 月 考试 研究 考卷解析 以 对于整份试卷 合理分配时间就显得非常有必要 对 于第21题 一般应留15分钟左右的时间 完成第一问后 还能有10分钟就好了 而此时大幕才刚刚开启 难点2 第二问几乎全部用文字语言进行叙述 只有 引进必要的参数 将其转化为符号语言 方可明确问题 的本质 从而进行纯数学的作答 将文字语言 借助图像 语言 不一定作出图像 转化为符号语言是数学学科的 一大特色 而这恰恰是学生感到较为困难的地方 但不 将其进行有效转化 那么对于第二问真的就无从下手 了 事实上 很多学生对于此问 确实没有任何思路 突破 引入必要的参数 结合有关概念的理解 进行 有效转化 设曲线的切点为P t f t 则切线的方程为y f t f t x t 令y 0 得切线在x轴上的截距为g t t f t f t t t2 e t e t 2t t2 t t t 2 由f t 0圳e t 2t t2 2或t0 即g t 在 0 上是增 函数 所以t 0 时 g t 0 即g t 在 2 2 摇 姨 上是增函数 当t 2 2 2 摇 姨 时 g t 2时 t 2 0 则g t 22 摇 姨 3 当且仅当t 2 2 t 2 圯 t 2 2 2圯t 2 2 摇 姨 舍负 时取 当t 0时 t 22 则g t 2 t 2 2 t 3 3 22 摇 姨 当且仅当2 t 2 2 t 圯 2 t 2 2圯t 2 2 摇 姨 舍 时取 可见 虽然能使用均值不等式 但由于最终没法取 到等号 于是范围明显放大 此时应如何处理为好呢 是 继续前行 还是另寻它途 一般情况下此时常用 双勾函 数 的单调性进行处理 令h x x 2 x 当t 0时 t 20 即h x 在 2 上是 增函数 则x 2 时 h x 3 所以此时g t 0 即h x 在 2 上是 增函数 所以x 2 时 h x h 2 3 此时g t 0 当x 0 2 摇 姨 时 h x 0 即h x 在 2 摇 姨 上是增函数 所以x 0 时 h x h 2 摇 姨 22 摇 姨 此时g t 22 摇 姨 3 综上所述 l在x轴上的截距的取值范围是 0 22 摇 姨 3 53 高中版高中版 2014 年 5 月 考试 研究 考卷解析 此即为参考答案所提供的解法 而参考答案中明显 省去了对 双勾函数 单调性的讨论 似乎已将其作为高 级结论使用了 但对于解答题是明显不合理的 而且该 法技巧性较强 若使用分离常数法不能成功将g t 转化 为t 2 2 t 2 3的形式 那后面的方法将无从谈起 当然这 已是通法 但学生懂而不会的现象大量存在 而且转化 的思想 函数与方程的思想 数形结合的思想 分类讨论 的思想环环相扣 整个求解过程自然险象环生 难怪学 生要折戟沉沙了 相比较而言 突破2的方法自然 当为 解决此问的首选 而这恰恰又是新课标所倡导的方法 三 突破感悟 步步为营 完成此题的突破 心中莫名地激动 久久难以平静 在感叹于命题者良苦用心的同时 更多地还是为众多学 生感到可惜 同时也对平时的教学和复习提出了一些值 得关注的建议 1 解题教学应崇尚自然 通性通法的学习一直是数学学习的重中之重 考 试大纲 也明确了其在高考中将会重点考查 从此题的 整个求解过程可看出 不论是导数法求极值 还是由点 斜式写直线的方程 函数值域的求法等都是平时学习中 大家熟知的方法 但将众多的知识和方法集中在一起 于是解题时就会理不出思绪 从而导致解题失败 通常 认为 自然的解法是指从题目条件出发 每一步跨度不 大 起点较低 易于理解 便于操作 且目标清楚的通则 通法 2 通过前面的分析可看出 难点3的突破2是此题的 最佳解法 而导数法却是整个难点中最自然的解法 可 见 平时解题教学时应崇尚解法的自然与常规 2 解题教学应暴露思维 整节课只讲解了此题的整个突破过程 有些想法根 本无法全面展开 像难点1求e x的导函数 复合函数的突 破就只是提出而未深入 但求解的心路历程都已完整呈 现 整个过程跌宕起伏 却步步为营 整个思维过程一览 无遗 在学生大呼过瘾的同时 思维的震撼是难以言喻 的 大家都清楚解题教学要充分暴露思维 那应如何暴 露才好呢 是刻意为之 还是自然些好呢 相信基于学生 思维的起点 一路走来 无论成功还是失败 只要是经历 过 火热思考 的过程就是好的 3 解题教学应升华品质 整个突破过程尤如一部精彩纷呈的大片 先是按常 规求函数的极值 却偏遇求e x的导函数的难点 不能成功 跨越 就一错到底 好不容易完成了第一问 在饥寒交迫 下 第二问又突遇语言的转化关 如果不知导数的几何 意义 直线的点斜式方程的写法和直线在x轴上的截距 的概念 将根本无法进一步走下去 成功转化为求函数 的值域后 函数的定义域又被限制 似乎方法众多 但何 为最优解法呢 精彩此时才刚刚开始 可以想见 学生在求解此题时 个性品质将会体现 得淋漓尽致 首先做到该题时 时间已所剩无几 加之压 轴题一定难的心理畏惧感 多数学生还没开始读题就缴 械投降了 要想在此题有所作为 一方面需合理安排好 时间 时间的保证是成功的前提 另一方面要克服紧张 情绪 在解答此题时 心态还能平和 同时