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数列前n项和的求法 求数列前n项和是数列的重要内容 也是一个难点 求等差 等比 数列的前n项和 主要是应用公式 对于一些既不是等差也不是等比的数列 就不能直接套用公式 而应根据它们的特点 对其进行变形 转化 利用化归的思想 来寻找解题途径 一 拆项转化法 例1已知数列中 且 且t为常数 求 解 当t 1时 当时 分析 观察数列的通项公式 数列可以 分解 为一个公比为t的等比数列和一个公差为1的等差数列 因此 只要分别求出这两个数列的前n项之和 再把它们相加就可得 注意等比数列前n项和公式对公比q的要求 可得如下解法 总结 拆项转化常用于通项是多项式的情况 这时 可把通项拆成两个 或多个 基本数列的通项 再求和 有时也应用自然数的方幂和公式求 常用的有 例2 求数列1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 n 的前n项和Sn 解 该数列通项 令 则 数列的前n项和 数列的前n项和 二 裂项相消法常用的消项变换有 二 裂项相消法常用的消项变换有 例3 求 解 由上面 知 例4 求 解 其 通项 三 倒序相加法课本等差数列前n项和公式就是用倒序相加法推导的 例5 已知数列是首项为1 公差为2的等差数列 求 分析 注意到且当m n p q时 有 等差数列的性质 解 又 两式相加得 四 错位相消法课本推导等比数列前n项和公式的方法 利用可求两类数列的和 其通项分别是 例6 求数列的前n项和 解 1 2 1 2 得 五 并项法 例7 已知数列的通项 求数列前2n项和 解 令 是首项为 3 公差为 4的等差数列 评注 用并项法把相邻的一正一负两项并作一项 从而使通项降次 得以转化为等差数列求解 六 逐差求和法 又叫加减法 迭加法 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时 就可用迭加法进行消元 例8 求数列 1 3 7 13 21 31 的和 解 两边相加得 注 把减数移至等号右边 就是我们平时常用的叠加法 当然 这也可叫叠加法 例8 求
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