2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质课时规范训练 新人教A版选修2-1

1 2 3 22 3 2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 基础练习 1 双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为 x2 4 y2 12 a 1 b 3 c 2 d 2 3 答案 d 解析 不妨取焦点 4 0 和渐近线y x 则所求距离d 2 3 4 3 0 3 13 2 已知 0 则双曲线c1 1 与c2 1 的 4 x2 sin2 y2 cos2 y2 cos2 x2 sin2 a 实轴长相等b 虚轴长相等 c 离心率相等d 焦距相等 答案 d 解析 对于双曲线c1 a1 sin b1 cos c1 1 则实轴长为 2sin 虚轴 长为 2cos 离心率为 焦距为 2 对于双曲线c2 a2 cos b2 sin 1 sin c2 1 则实轴长为 2cos 虚轴长为 2sin 离心率为 焦距为 2 故选 d 1 cos 3 双曲线 1 的离心率e 1 2 则实数k的取值范围是 x2 4 y2 k a 10 0 b 3 0 c 12 0 d 60 12 答案 c 解析 双曲线方程可变为 1 则a2 4 b2 k c2 4 k e x2 4 y2 k c a 4 k 2 又e 1 2 则 1 2 解得 12 k0 b 0 的两个焦点分别为f1 f2 y2 a2 x2 b2 以线段f1f2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是 4 3 则此双曲线的方程为 答案 1 y2 9 x2 16 解析 由题意 c 5 a2 b2 c2 25 又双曲线的渐近线为 42 32 y x 由 解得a 3 b 4 双曲线方程为 1 a b a b 3 4 y2 9 x2 16 6 设f1 f2是双曲线c 1 a 0 b 0 的两个焦点 若在c上存在一点p 使 x2 a2 y2 b2 pf1 pf2且 pf1f2 30 则c的离心率为 答案 1 3 解析 由pf1 pf2 pf1f2 30 f1f2 2c 可得 pf1 2ccos 30 c pf2 2csin 30 c 又 2a c c 2a 则 3 pf1 pf2 3 e 1 c a 2 3 13 7 已知双曲线过点p 3 离心率e 试求此双曲线的方程 2 5 2 解 依题意 双曲线的焦点可能在x轴上 也可能在y轴上 分别讨论如下 若双曲线的焦点在x轴上 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 x2 a2 y2 b2 由e 得 5 2 c2 a2 5 4 由点p 3 在双曲线上 得 1 2 9 a2 2 b2 又a2 b2 c2 所以由 可得a2 1 b2 1 4 若双曲线的焦点在y轴上 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 y2 a2 x2 b2 同理有 1 a2 b2 c2 c2 a2 5 4 2 a2 9 b2 3 解得b2 不合题意 舍去 17 2 故双曲线的焦点只能在x轴上 所求双曲线方程为x2 4y2 1 8 已知双曲线c 1 a 0 b 0 的离心率为 x2 a2 y2 b23 a2 c 3 3 1 求双曲线c的方程 2 已知直线x y m 0 与双曲线c交于不同的两点a b 线段ab的中点在圆 x2 y2 5 上 求实数m的值 解 1 a 1 c c a3 a2 c 3 33 b2 c2 a2 2 双曲线c的方程为x2 1 y2 2 2 设a x1 y1 b x2 y2 线段ab的中点 m x0 y0 由error 得x2 2mx m2 2 0 判别式 0 x0 m y0 x0 m 2m x1 x2 2 点m x0 y0 在圆x2 y2 5 上 m2 2m 2 5 解得m 1 能力提升 9 2019 年山东枣庄十六中模拟 已知双曲线c1 y2 1 双曲线 x2 4 c2 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 点m是双曲线c2的一条渐近线上的 x2 a2 y2 b2 点 且om mf2 o为坐标原点 若s omf2 16 且双曲线c1 c2的离心率相同 则双曲线 c2的实轴长是 a 4 b 8 c 16 d 32 答案 c 解析 双曲线c1 y2 1 的离心率为 设f2 c 0 双曲线c2一条渐近线方程 x2 4 5 2 为y x 可得 f2m b 即有 om a 由s omf2 16 得ab 16 b a bc a2 b2c2 b2 1 2 即ab 32 又a2 b2 c2且 解得a 8 b 4 c 4 故双曲线的实轴长为 16 c a 5 25 10 2019 年江西南昌模拟 已知等腰梯形abcd中ab cd ab 2cd 4 bad 60 双曲线以a b为焦点 且与线段cd 包括端点c d 有两个交点 则该双曲线的离心率的取 4 值范围是 a b 23 c 1 d 1 23 答案 d 解析 当双曲线过点c d时 由平面几何可知 acb 90 ab 4 bc 2 ac 2 所以 2c 4 ca cb 2 1 2a 即a 1 c 2 此时 1 333 c a 2 3 13 若双曲线与线段cd相交 则双曲线的张口变大 离心率变大 即e 1 故选 d 3 11 已知双曲线e 1 a 0 b 0 若矩形abcd的四个顶点在e上 ab cd的 x2 a2 y2 b2 中点为e的两个焦点 且 2 ab 3 bc 则e的离心率是 答案 2 解析 如图 由题意得 bc f1f2 2c 又 2 ab 3 bc af1 c 在 rt 3 2 af1f2中 af2 af1 2 f1f2 2 3 2c 2 2c 2 5c 2 2a af2 af1 c c c e 2 5 2 3 2 c a 12 已知双曲线的中心在原点 焦点f1 f2在坐标轴上 离心率为且过点 4 210 点m 3 m 在双曲线上 1 求双曲线方程 2 求证 mf1 mf2 3 求 f1mf2的面积 1 解 e 2 可设双曲线方程为x2 y2 0 双曲线过点 4 10 16 10 解得 6 双曲线方程为x2 y2 6 2 证明 易知f1 2 0 f2 2 0 33 5 kmf1