2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程课时规范训练 新人教A版选修2-1

2.4.1 抛物线及其标准方程基础练习1过点a(1,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()a直线b椭圆c双曲线d抛物线【答案】d【解析】设p为满足条件的点，则点p到点a的距离等于点p到y轴的距离，即点p在以点a为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点p的轨迹为抛物线故选d2点(7，4)到抛物线y216x焦点的距离是()a5b8c11d15【答案】a【解析】抛物线的焦点为(4,0)，点(7，4)到点(4,0)的距离为5.故选a3抛物线y224ax(a0)上有一点m，它的横坐标为3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程是()ay28xby212xcy216xdy220x【答案】a【解析】抛物线的准线方程为x6a，由题意得36a5，a.抛物线的方程是y28x.故选a4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()a2b3cd【答案】a【解析】设抛物线焦点为f，则点f为(1,0)，x1为抛物线的准线方程，点p到l2的距离与|pf|相等当pfl1时，所求和最小，最小值为点f到l1的距离，其值为2.故选a5(2019年江苏南京模拟)经过抛物线c的焦点f作直线l与抛物线c交于a，b两点，如果a，b在抛物线c的准线上的射影分别为a1，b1，那么a1fb1的大小为_【答案】【解析】由抛物线的定义可知|bf|bb1|，|af|aa1|，故bfb1bb1f，afa1aa1f.又ofb1bb1f，ofa1aa1f，故bfb1ofb1，afa1ofa1，ofa1ofb1，即a1fb1.6抛物线y24x的弦abx轴，若|ab|4，则焦点f到直线ab的距离为_【答案】2【解析】由抛物线的方程可知f(1,0)，由|ab|4且abx轴得y(2)212，xa3.所求距离为312.7分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上解：(1)若抛物线焦点落在x轴上，设抛物线方程为y22px(p0)将点(3,2)代入方程得222p(3)，p.故抛物线方程为y2x.若抛物线焦点落在y轴上，设抛物线方程为x22py(p0)将点(3,2)代入方程得(3)22p2，p.故抛物线方程为x2y.综上，抛物线方程为y2x或x2y.(2)直线x2y40与x轴的交点为(4,0)，则抛物线的焦点坐标为(4,0)设抛物线方程为y22px(p0)，4，p8，则抛物线方程为y216x.直线x2y40与y轴的交点为(0，2)，则抛物线的焦点坐标为(0，2)设抛物线方程为x22py(p0)，2，p4，则抛物线方程为x28y.综上，抛物线方程为y216x或x28y.8(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点f，且和y轴交于点a若oaf(o为坐标原点)的面积为4，求该抛物线方程；(2)若点p到点f(0,2)的距离比它到直线y40的距离小2，求点p的轨迹方程解：(1)抛物线的焦点坐标为，故直线l的方程为y2.令x0得y，故oaf的面积为4.解得a8.抛物线方程为y28x.(2)由题意知点p到点f(0,2)的距离比它到y40的距离小2，点p到点f(0,2)的距离与到直线y20的距离相等点p的轨迹是以点f为焦点，y2为准线的抛物线点p的轨迹方程为x28y.能力提升9已知点f为抛物线y28x的焦点，o为原点，点p是抛物线准线上一动点，点a在抛物线上且|af|4，则|pa|po|的最小值为()a6b24c2d42【答案】c【解析】设a(x0，y0)|af|4，由抛物线的定义得|af|2x0，2x04.解得x02.a(2，4)设坐标原点关于准线x2的对称点的坐标为b(4,0)，则|pa|po|pa|pb|ab|2.故选c10(2019年河北邢台模拟)从抛物线y24x上的一点p引抛物线准线的垂线，垂足为m，且|pm|5，设抛物线的焦点为f，则mpf的内切圆的面积为()abcd【答案】b【解析】如图，|pm|5，点p的坐标为(4,4)spmf5410.设pmf的内切圆圆心为o，半径为r，则spmfsopmsopfsomf，即(552)r10.解得r.故pmf内切圆的面积为r2.11已知抛物线y28x的焦点为f，p是抛物线准线上一点，q是直线pf与抛物线的一个交点，若 ，则直线pf的方程为_【答案】xy20或xy20【解析】抛物线y28x的焦点f(2,0)，设点q到准线l的距离为d，则|qf|d. ，|d.直线pf的倾斜角为45或135.直线pf的斜率为1.直线pf的方程为xy20或xy20.12已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的一点r与焦点连线的中点为m(5,4)，求抛物线的标准方程解：由题意，知抛物线的焦点一定在x轴