整理郑瑄老师之直角三角形的边角关系课案例.doc

整理郑瑄老师之直角三角形的边角关系课案例温二中 蔡新莲本文将详细阐述和探究浙教版九上数学三角函数第一节入门概念课的案例过程，以期突破教学中的难点与盲点。(一) 分类问题，温故而探新问题：曾经研究过直角三角形，它是一种特殊的三角形，第一次涉及研究直角三角形时，角、边、边角之间有什么关系？（角之间的关系：两锐角之和为90度，即两锐角互余；边之间的关系：勾股定理，记角A对边为a.，角B对边为b，角C对边为c，根据勾股定理的逆定理，可以判断是否为直角三角形等。）追问：那么关于边角之间的关系，在你们的经验和经历中有吗？BCAcab研究：直角三角形的边角关系角：边：角与边：？设计意图：义务教育数学课程标准（2011年版）提出：教学活动中要体现“理解数学”的基础上遵循知识的发生发展过程，“为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程”。因此在复习已有知识积累的基础上，进一步研究直角三角形的边角关系，是符合学生的认知规律的。而对关于直角三角形中基本元素问题进行分类，在创设引入问题情境下学生自然清楚这里的分类思想，以及为什么而“分”，有哪几“类”等。可谓引入部分简约不简单！（二）体验探究，构建新概念问题：其实关于边角之间的关系，在你们的经验和经历中是有的。请看（30度直角三角板），你有吗？你有的，只是你的小一点，我的大一点。30度角确定，请问这三边有什么关系？设30度角对边a为1，则斜边c为2，根据勾股定理邻边b为：（这不就是我们经验和经历中直角三角形边角的关系吗？！）BCA21b还有一块三角板，（等腰直角三角板）你也有一块。你的小一点，我的大一点，但是我们都是一个角是45度。设45度角对边a为1份，邻边b为1份，根据勾股定理斜边c为。（这又是我们经验和经历中直角三角形边角的关系！）BCA11一个有趣的问题：难道锐角确定，它的三条边的比值也一定确定吗？给出一个锐角，必然给定一个固定值的三边之比吗？尝试：一个锐角为15度的直角三角形，是否也有是一个固定的值呢？BC标上字母，便于研究问题三角形的外角=两个不想邻的内角和=+=这个角显然比15度大从中分割一个15度ADBCD不妨假设BC为1份，21b当锐角是15度时，我们发现三边之比又确定了。其实，你再有一块三角板，它的锐角是15度的，无论大小怎么样，它的比值仍然不变！原因是什么？相似三角形对应边成比例！假如A=是任意锐角，那么三边之比确定吗？（确定！原因就是三角形的相似。）这样的语境，我们曾经经历过：在中，当锐角确定，三边之比也确定；当锐角发生变化，它的三边的比值也随之变化。设计意图：义务教育数学课程标准（2011年版）提出：概念教学要返璞归真，努力揭示概念的发生发展过程及其本质。因此，学生亲身经历概念的自然形成过程是概念教学的必由之路。从学生熟悉的两个特殊到比较陌生的一个特殊的直角三角形入手，让学生自主充分的体验，归纳出角度固定，其三边的比值固定；角度变化，其三边的比值也相应的发生变化。已知直角三角形中的一个锐角来确定它们的三条边长之比，这个比与三角形的大小无关，只与锐角的度数有关，从而给出了三角函数的概念。将研究对象从特殊带到了一般，给出了研究的方法，也在这个过程中成功地将三角函数涉及的两个变量进行了事先的铺垫和渗透（三）类比概念，挖出其“另类”类比“这样的语境”：在某个变化过程中有两个变量锐角A、三边的比值，对于在某个范围内对于锐角三角形变化的角0至90度，每一个确定的的值， 都有唯一确定的值，我们称是的函数，叫做自变量。类比“这样的语境，这样的经历，这样的经验”：、；这样的经历我们肯定是有的。直角三角形的边角关系，是一种函数关系，是比值与角度的函数关系。研究：直角三角形的边角关系BCA21bBCA11BCAD一种函数关系BCAcab我们可以做一个类比：在直角三角形中，对于每一个确定的锐角A，三边之比都是一个确定的值，与三角形的大小无关（这是因为三角形的相似）。而当锐角A变化时，三边之比也发生变化。总结（最漂亮的是这句话）：比值可以看做是锐角A的函数！类比函数：设在某个变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值，那么就说是的函数，叫做自变量。在直角三角形中，对于每一个确定的锐角A，三边之比都是一个确定的值，与三角形的大小无关。而当锐角A变化时，三边之比也发生变化。比值可以看做是锐角A的函数。另类之处：原来学过的都是代数函数，都是数量与数量的对应关系；现在，是不是比值和角度的对应关系？还有，原来是不是都能够用一个解析式来表达；现在，怎么办？有什么办法利用一个数量关系、解析式来表达出来？设计意图：体验在某个变化过程中有两个变量的关系，联想到前面所学习的函数概念，进行类比，用一个崭新的视角去观察、思考这个发现，慢慢的体验到这个比值是以角度为自变量的一种崭新的函数。学生能真正体会到这种另类的函数与之前知识建构体系中的联系，还能深深疑惑其另类之处。（四）简约智慧，新三角函数老子道德经，有一个对于道的最高境界，叫做“大道至简”大道理总是极端简单的。我们研究问题、我们美学的角度，总是希望能够简洁、简约、简化。师生共同分析，总结归纳：第一简：关注点简约三条边是有勾股定理的关系的关注三边简约成关注两边。三边中挑两边：a、c，b、c，a、b；这两边有角A的对边与斜边，角A的邻边与斜边，角A的对边与邻边。研究它的比，可以a比c，也可以c比a；它们的比，有两种情况。第二简：只关注这三个比经过简约，三边之比简约成两边，两边之比互为倒数的，放在一边，只关注三个。根据刚才我们的分析发现，它们的比值都是关于角度A的函数。可是不管怎样地简，有一个问题避不开：怎么来表达？也就是怎样的一个解析式，可以把比值关于角度A的函数关系把它表达出来？（量化）数学家解决了这样一个问题。真没办法用一个关系式，像以前那样，用一个数学式表达；数学家用一个符号，给它表达了出来。BCAcab大道至简ac正弦sinA=bc余弦cosA=ab正切tanA=邻边的对边邻边斜边对边邻边统称：三角函数异军突起BCAcabsinA=cosA=tanA=锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切统称为的三角函数比值叫做的正弦，记做sinA（sine）比值叫做的余弦，记做cosA（cosine）比值叫做的正切，记做tanA（tangent）它跟以往我们学过的代数函数有什么区别呢？数学上把它叫做“超越函数”，有别于之前的代数函数：首先，它不能用一个非常明确的数量关系来表达。不像、 。其次，它是一串的，3个甚至更多一些统称。、；不只三个，刚才被简约的也有名称、，余割、正割、余切。它们是倒数关系，有兴趣的可以去查文献。最后，它的自变量、函数跟以往是颠覆性的，它是比值关于角度的函数。锐角三角函数，到高中后是任意角。设计意图：老子曰：大道至简。自然而然的，三边可以探究两边，六种比值可以探究三种，表示方法可以简化为特殊的符号，这是如此的美妙和谐的“导学”！天衣无缝的从学生知识储备和认知心理来设计教学，从学生的角度来设置教学内容，课堂节奏的把握，让学生能够真正跟上、理解、消化和应用。更妙的是把三角函数与一次函数、反比例函数、二次函数贴切的进行了类比，引导孩子们回归到数学的本质，把三角函数作为函数阵营的新成员进行了深入的思考，其间的共性和个性，三角函数出身函数，又超越函数的特征被挖掘的淋漓尽致。（五）梯度练习，巩固新知梯度一：基础练习，掌握新知问题：，什么意思？什么比什么？多少？ 1比，分母有理化，比2 邻边比斜边，还是2分之 对边比邻边，1比1 那么60呢？=数形结合，便于大家观察12对边：斜边邻边：斜边对边：邻边：21:2：1=注意点1） sin、cos、tan，它们与A之间不是相乘的意思，它是符号，并非乘号省略。2） sin、cos、tan，是边长之比，不带单位。3） sin、cos，直角边比斜边，永远不会大于1，因为直角边小于斜边；如果大于1，保准是算错了。4） 当边长扩大的倍数或缩小的倍数相同时，它的锐角的三角函数值是永远都不会变的这是因为三角形的相似。梯度二：化归思想，构造直角三角形。1. 在正方形网格中，的位置如图所示，则cosB= .CABCABD答案分析：三角形ABC不是直角三角形。所以答案是（举手表决）角B如果在直角三角形中，对于，角B的邻边BD是4份，斜边AD是3份；勾三股四弦五，斜边AB是5份。所以cosB=.追问：那么sinB？tanB？梯度三：提高练习，思维拓展。2. 在中，CD是AB边上的中线，AC=8，BC=6，求的正切.CABD tan=构造一个直角三角形作垂线斜边上的中线等于斜边的一半CD=AD=BD等腰三角形三线合一AN=CN=4BN=BC=3方法一：构造CABDNCBDN延长（倍长）中线，得到平行四边形因为角A是直角，所以它是矩形构造一个直角三角形作垂线斜边上的中线等于斜边的一半CD=AD=BD等腰三角形三线合一AN=CN=4BN=BC=3一个在内部，一个扩张出去，总而言之，是构造ACABD方法二：转移 斜边上的中线等于斜边的一半CD=AD=BD所以tan=tan=设计意图：通过这些问题组的设置，三个练习层层推进，步步出精彩，始终紧扣锐角三角函数的本质，引导学生寻找最合适的直角三角形，将问题放在直角三角形中利用锐角三角函数的概念解决问题。我们不妨停下脚步，停顿一会儿；因为有些概念需要形成、需要巩固。让学生从自己的实践中感悟、发现、理解和探求解直角三角形所需的最简条件，教学活动中学生主动参与，积极思考，使学生掌握了扎实的基础知识和基本技能，形成良好的学习习惯和学习态度，做到有问必究。（六）了解数学史，渗透数学文化问题：非特殊角的三角函数值是怎样的?3. 如图，从A地到B地的公路需绕道C地，图中AC=10千米，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路。（1） 求改直后公路AB的长（2） 问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin0.42，cos0.91，sin0.60，cos0.75）CAB（宁波市2014年中考数学试卷第21题）这堂课，只引导大家关注最后一句括号里面的内容。当这些角非特殊角的时候，那么这个三角函数值是怎么来的？sin0.42，cos0.91，sin0.60，cos0.75BCAcabsinA=cosA=tanA=根据定义，画一个标准的25度角的直角三角形求sin，把25度的对边a量一量，把斜边c量一量，再用斜边c除以对边a在这里，要感谢古代的数学家；数学用表里记录了非特殊角的三角函数值，这些都是古代数学家一个个量好算出来的。当然我们现在几乎没人会去查这张表，现在我们用计算器（拿出计算器）：tan=1.一直到小数点后8位。欣赏:借助数学工具，巧妙地求三角函数值。任意画一角，射线与圆有一交点A，作AB垂线交x轴于点B。sin=cos=0.73140.6820A任一锐角放进去sin、cos是终边与圆弧交点的横坐标B0.2756A0.9613sin=cos=关键：圆弧半径为1，斜边始终为1，分母始终为1所以交点横纵坐标始终等于sin、cosyxOBA同理：为了方便求tan，需要分母为1，即邻边为1过点A的射线（x=1）任一角，如，与射线x=1的交点为B1.0724tan=B点纵坐标即为tan的值yxOBA0.4245换一个角度，还是这个背景、还是这个工具我仍然可以终边与射线x=1的交点B，它的纵坐标就是tan的值tan=设计意图：通过在课上渗透了数学史，给出三角函数别样的定义法，拓宽学生的眼界，开阔学生的思维，提升学生的数学素养。提高学生全面的素质发展，包括知识的渊博度、数学知识的眼界度、对数学内容的整体把控能力等等。作为一名优秀的数学教师应该通过上好数学一节课，影响学生的一辈子。同时将数学史融在数学课堂教学中也让学生感受着数学的博大和魅力。（七）分享打油诗，总结概括一首高度概括性的打油诗来和大家分享：图形研究，数形结合；边角之间，关系量化。异军突起，三角函数；边比与角，一一对应。大道至简，符号表述；直三角形，再呈瑰丽。设计意图：打油诗是一种趣味性的俚俗诗体，诙谐幽默，小巧有趣。此时借助打油诗小结，内容全面，概括性强，别有新意，个中奥妙，学生当可意会也可言传，当可神通亦可语达。对教材处