九年级数学下册 第28章圆28.1圆的认识 2圆的对称性习题课件 华东师大版

2 圆的对称性 1 理解圆的对称性 2 掌握圆心角 弧 弦三者之间的关系 能运用它们之间的关系解决问题 重点 3 掌握垂径定理及其推论 能运用垂径定理及其推论解决问题 重点 难点 一 圆心角 弧 弦之间的关系在同一个圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量 那么它们所对应的其余各组量都分别 二 圆的对称性1 圆的对称性 圆是 图形 对称轴是 所在的直线 相等 相等 轴对称 任何一条直径 2 垂径定理如图 cd为 o的直径 ab为弦 思考 1 当cd ab 垂足为e时 将圆沿直线cd对折 点a与点b重合吗 你会发现哪些相等的线段和相等的弧 提示 重合 2 你能证明ae be吗 提示 连结oa ob 则oa ob cd ab oae和 obe都是直角三角形 又 oe为公共边 两个直角三角形全等 则ae be 3 当ae be时 将圆沿直线cd对折 与与相等吗 提示 连结oa ob 则oe为等腰 aob底边上的中线 cd ab 点a与点b重合 4 上述证明是在 aob存在即ab为非直径的弦的条件下得到的结论 那么当ab为直径时是否成立呢 你能画出图形吗 提示 成立 如图所示 总结 垂径定理 垂直于弦的直径 并且 弦所对的两条弧 平分弦 平分 3 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径 于这条弦 并且 弦所对的弧 平分弧的直径 这条弧所对的弦 垂直 平分 垂直平分 打 或 1 圆心角相等 则它所对的弦及所对的弧都相等 2 在两个圆中 若有两条弦相等 则这两条弦所对的弧一定相等 3 直径是所在圆的对称轴 4 弦的垂直平分线一定过圆心 5 平分弧的直线一定平分这条弧所对的弦 知识点1圆心角 弧 弦之间的关系 例1 如图 分别是半径oa和ob的中点 cd与ce的大小有什么关系 为什么 解题探究 1 由如何添加辅助线构造相等的角 提示 连结oc 根据弧相等 所对的圆心角也相等 可得 cod coe 2 由d e分别是半径oa和ob的中点 可得哪些线段相等 提示 ao bo ad od oe eb 3 通过以上探究 可证明哪两个三角形全等 提示 所以 odc oec 4 综上所述cd ce 理由 全等三角形对应边相等 总结提升 运用圆心角定理时应注意的两个问题1 圆心角 弧 弦之间的关系的结论必须在同圆或等圆中才能成立 2 一条弦所对的弧有两条 应用时应注意区分 知识点2垂径定理及其应用 例2 如图 o的半径为17cm 弦ab cd ab 30cm cd 16cm 圆心o位于ab cd的上方 求ab和cd间的距离 思路点拨 过圆心作两条弦的垂线 再通过连结圆心与弦的端点构造直角三角形 利用勾股定理求出ab和cd的距离 自主解答 分别过点o作弦ab cd的垂线 设垂足分别为e f ab 30cm cd 16cm 在rt aoe中 cm 在rt ocf中 ef of oe 15 8 7 cm 总结提升 在运用垂径定理时辅助线的作法及两点注意1 辅助线作法 有关圆内弦的长度计算 一般情况下 经常过圆心作垂直于弦的半径 构建直角三角形 2 两点注意 1 这里的垂径可以是直径 半径 也可以是过圆心的直线或线段 2 条件中的 弦 可以是直径 结论中的 平分弧 既意味着平分弦所对的劣弧 又意味着平分弦所对的优弧 题组一 圆心角 弧 弦之间的关系1 已知ab与a b 分别是 o与 o 的两条弦 ab a b 那么 aob与 a o b 的大小关系是 a aob a o b b aob a o b c aob a o b d 不能确定 解析 选d 由弦相等推弦所对的圆心角相等 必须保证在同圆或等圆中 而 o与 o 不一定是等圆 所以 aob与 a o b 的大小关系不能确定 2 如图 已知 ab是 o的直径 c d是上的三等分点 aoe 60 则 coe是 a 40 b 60 c 80 d 120 解析 选c aoe 60 boe 180 aoe 120 的度数是120 c d是上的三等分点 与的度数都是40 coe 80 3 如图 在 o中 c 70 则 b 度 a 度 解析 b c 70 a 180 2 c 40 答案 7040 4 如图 ab是 o的直径 bc cd da是 o的弦 且bc cd da 则 bcd 解析 连结oc od bc cd da aod doc cob aod doc cob 180 aod doc cob 60 aod doc cob都为等边三角形 bco dco 60 bcd 60 60 120 答案 120 5 已知 如图 在 o中 ab cd 求证 aoc bod 证明 即 aoc bod 题组二 垂径定理及其应用1 如图 ab是 o的直径 弦cd ab 垂足为m 下列结论不成立的是 a cm dmb c acd adcd om md 解析 选d ab是 o的直径 弦cd ab 垂足为m m为cd的中点 即cm dm 选项a成立 b为的中点 即选项b成立 在 acm和 adm中 am am amc amd 90 cm dm acm adm acd adc 选项c成立 而om与md不一定相等 选项d不成立 2 2013 温州中考 如图 在 o中 oc 弦ab于点c ab 4 oc 1 则ob的长是 解析 选b 在 o中 oc 弦ab于点c 则 3 2013 上海中考 在 o中 已知半径长为3 弦ab长为4 那么圆心o到ab的距离为 解析 如图 od ab 由垂径定理得所以由勾股定理得答案 4 2013 襄阳中考 如图 水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m 其中水面的宽ab为0 8m 则排水管内水的深度为 m 解析 如图所示 过点o作od ab交ab于点c 交圆于点d 连结ob 在 o中 od ab ac bc 0 4m ob 0 5m bc 0 4m oc 0 3m cd 0 5 0 3 0 2 m 答案 0 2 5 如图 在同一平面内 有一组平行线l1 l2 l3 相邻两条平行线之间的距离为4 点o在直线l1上 o与直线l3的交点为a b ab 12 求 o的半径 解析 过点o作oc ab于c 连结oa 在rt aoc中 aco 90 oc 4 2 8 o的半径为10 6 2013 邵阳中考 如图所示 某窗户由矩形和弓形组成 已知弓形的跨度ab 3m 弓形的高ef 1m 现计划安装玻璃 请帮工程师求出弧ab所在圆o的半径 解析 由垂径定理得设圆o半径为xm 则of x 1 m 在rt obf中 根据勾股定理得x2 1 52 x 1 2 解得x 1 625 即圆o的半径是1 625m 想一想错在哪