2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2

2 3直线 平面垂直的判定与性质2 3 1直线与平面垂直的判定 1 直线与平面垂直的有关概念 1 定义 如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直 我们就说直线l与平面 互相垂直 记作 2 相关概念 若直线l与平面 垂直 其中直线l叫做平面 的 平面 叫做直线l的 直线与平面垂直时 它们唯一的公共点p叫做 l 垂线 垂面 垂足 相交 3 直线和平面所成的角平面的一条 和它在平面上的射影所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角是90 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它们所成的角是 综上 直线与平面所成的角的范围是 斜线 锐角 0 0 90 1 判一判 正确的打 错误的打 1 如果一条直线与一个平面内的两条直线都垂直 那么这条直线与这个平面垂直 2 如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直 那么这条直线一定不与这个平面垂直 3 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面 那么另一条直线也垂直于这个平面 答案 1 2 3 2 如图 adb和 adc都是以d为直角顶点的直角三角形且ad bd cd bac 60 则直线ad 平面 直线bd 平面 直线cd 平面 答案 1 垂直 2 bcdadcadb 3 思一思 如果直线l与平面 内的无数条直线垂直 则直线l与平面 互相垂直吗 解析 1 当这无数条直线为平行直线时 不能判定直线l与平面 互相垂直 2 当这无数条直线存在相交直线时 则直线l与平面 垂直 直线与平面垂直的定义 例1 下列说法正确的是 a 垂直于同一条直线的两条直线平行b 如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直 那么这条直线就一定不与这个平面垂直c 如果一条直线垂直于平面内的两条直线 那么这条直线与这个平面垂直d 若l与平面 不垂直 则平面 内一定没有直线与l垂直 解题探究 根据线面垂直的定义判定 答案 b 解析 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交 可能平行 也可能异面 故a不正确 由线面垂直的定义可知b正确 因为这两条直线可能是平行直线 故c不正确 如图 l与 不垂直 但a l a 故d不正确 8直线与平面垂直的定义的 双向 作用 1 证明线面垂直 若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直 该直线与已知平面垂直 即线线垂直 线面垂直 2 证明线线垂直 若一条直线与一个平面垂直 则该直线与平面内任意一条直线垂直 即线面垂直 线线垂直 1 下列命题中正确的个数是 如果直线l与平面 内的一条直线垂直 则l 如果直线l不垂直于 则 内没有与l垂直的直线 如果直线l不垂直于 则 内也可以有无数条直线与l垂直 a 0b 1c 2d 3 答案 b 解析 错误 如图 l b 但l 错误 如图 l不垂直于 但l可以与 内无数条直线垂直 正确 例2 如图 p为 abc所在平面外一点 pa 平面abc abc 90 ae pb于e af pc于f 求证 1 bc 平面pab 2 ae 平面pbc 3 pc 平面aef 直线与平面垂直的判定定理的应用 解题探究 本题是证线面垂直问题 要多观察题目中的一些 垂直 关系 看是否可利用 如看到pa 平面abc 可想到pa ab pa bc pa ac 这些垂直关系我们需要哪个呢 我们需要的是pa bc 联系已知 问题得证 证明 1 pa 平面abc bc 平面abc pa bc abc 90 ab bc 又ab pa a bc 平面pab 2 bc 平面pab ae 平面pab bc ae 又pb ae bc pb b ae 平面pbc 3 ae 平面pbc pc 平面pbc ae pc 又af pc ae af a pc 平面aef 8证线面垂直的方法 1 定义法 不常用 但由线面垂直可得出线线垂直 2 判定定理 最常用 要着力寻找平面内两条相交直线 有时作辅助线 结合平面图形的性质 如勾股定理逆定理 等腰三角形底边中线等 及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直 3 平行转化法 利用推论 a b a b a a 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱ab bc的中点 o是底面abcd的中心 求证 ef 平面bb1o 证明 abcd为正方形 ac bo bb1 平面abcd ac 平面abcd ac bb1 又bo bb1 b ac 平面bb1o 又ef是 abc的中位线 ef ac ef 平面bb1o 例3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是棱dd1的中点 求直线be与平面abb1a1所成的角的正弦值 直线与平面所成角的求解 解题探究 找出直线be在平面abb1a1内的射影是解题的关键 解析 取aa1的中点m 连接em bm 因为e是dd1的中点 四边形add1a1为正方形 所以em ad 8 1 求直线和平面所成角的步骤 寻找过斜线上一点与平面垂直的直线 连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影 斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角 把该角归结在某个三角形中 通过解三角形 求出该角 2 在上述步骤中 作角是关键 而确定斜线在平面内的射影是作角的关键 几何图形的特征是找射影的依据 图形中的特殊点是突破口 3 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍 求侧棱与底面所成角的余弦值 解析 如图 设正三棱锥的底面边长为a 则侧棱长为2a 示例 已知四边形abcd中 四个角 abc bcd cda dab都是直角 求证 四边形abcd是矩形 错解 四边形abcd中 四个角 abc bcd cda dab都是直角 四边形abcd是矩形 考虑平面情形 而忽略空间情形致误 错因 把abcd当作平面四边形 未加共面证明 就得出结论 正解 当四边形abcd是平面图形时 它显然是矩形 若四边形abcd是空间四边形时 可设点c在平面abd之外 如图 过点c作cc1 平面abd 则ab 面bcc1 abc1 90 同理 adc1 90 警示 四边形abcd有两种存在形式 平面四边形abcd和空间四边形abcd 需分类证明 1 直线和平面垂直的判定方法 1 利用线面垂直的定义 2 利用线面垂直的判定定理 3 利用下面两个结论 若a b a 则b 若 a 则a 2 线线垂直的判定方法 1 异面直线所成的角是90 2 线面垂直 则线线垂直 3 求线面角的常用方法 1 直接法 一作二证三计算 2 转移法 找过点与面平行的线或面 3 等积法 三棱锥变换顶点 属间接求法 1 如果一条直线垂直于一个平面内的 正五边形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 则能保证该直线与平面垂直的是 a b c d 答案 a 解析 正五边形的两边 圆的两条直径一定是相交直线 而梯形的两边 正六边形的两边不一定相交 故能保证直线与平面垂直的是 2 2019年河北秦皇岛模拟 已知m和n是两条不同的直线 和 是两个不重合的平面 那么下面给出的条件中 一定能推出m 的是 a 且m b m n 且n c m n 且n d m n 且n 答案 b 解析 a中 由 且m 知m b中 由n 知n垂直于平面 内的任意直线 再由m n知m也垂直于 内的任意直线 所以m 符合题意 c d中 m 或m 或m与 相交 不符合