函数思想方法总结

高考函数思想方法总结石狮石光华侨联合中学 林闽 高考复习有别于新知识的学习。它是在基本掌握了中学数学知识体系、具备了一定的解题经验的基础上的复习学习，也是在基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想的基础上的复习学习。其目的在于深化对基础知识的理解，完善知识结构，在综合性强的练习中进一步形成基本技能，优化思维品质，在多次的练习中充分运用数学思想方法，提高数学能力。 高考复习是发展数学思想，熟练掌握数学方法的深化的学习过程。方法一：图象法【例1】已知函数f(x) =-2x2，g(x)=x,若f(x)*g(x)=minf(x),g(x),那么f(x)*g(x)的最大值是1 (min表示最小值) 【分析】将表达式f(x)*g(x)=minf(x),g(x)进行展开,得到分段函数后,画出图象,根据图象得出所求的最大值.【解析】y=f(x)*g(x)=minf(x)，g(x)=,画出图象如可图所示,图中的最高点A的纵坐标即为所求.解方程组,得A、B两点坐标分别为（1,1）,（-2,-2）,于是所求的最大值为1。【说明】解题关键点：准确理解f(x)*g(x)=minf(x)，g(x)的含义，在此基础上运用所学的知识和已掌握的方法或解题经验灵活解题。 解题规律是分段函数的最值一般均用图象法画出各分段函数的图象，然后观察出它们在各段图象上的最值勤点，并比较它们最值的大小。解题易错点容易误认为所求的最大值是函数f(x)的最大值或g(x)的最大值。方法二：定义法【例2】已知定义在R上的函数f(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)=x2-2x+2，求函数f(x)的解析式，并指出它的单调区间。 【分析】由图象的对称性可知,f(x)是奇函数，因而可根据奇函数的定义求解。但这里不能忘了求f(0).【解析】由题意可知f(x)是奇函数，当x0,故f(x)=-f(-x)=x2+2x+2。又当x=0时，f(0)=0因此，f(x)=,作出f(x)的图象如右图所示，增区间是（-，-1，1，+），减区间是（0， 1，-1，0）。【说明】 解题关键点：准确理解奇函数的性质，利用分类的办法表示出所求函数的解析式(即分段函数)解题技巧：利用奇偶函数的对称性可简化作图，利用函数图像的直观性可求单调区间 解题规律：(i)由奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另一侧的解析式，其基本思想是通过“-x”实现转化； (ii)若x=0在奇函数的定义域内，则必有f(0)=0，即其图像必过原点 解题易错点：(i)容易漏求当z=0时的解析式；(ii)两个单调区间之间用符号“U”连接方法三：单调性法 【例3】 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米，时已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元 (1)把全部运输成本y(元)表示成v(千米/时)的函数，并指出它的定义域； (2)为使y最小，汽车应以多大速度行驶? 【分析】首先读懂题目，弄清题意，明确题中所给各量的含义及它们之间的关系，并由此得出所求函数y=f(v)，再根据y=f(v)的解析式去解第(2)问【解析】(1)依题意,v(O，c化简得，v(O，c（2），当且仅当，即时，有最小值。若c，则当（千米/时）时，y=最小。若c，设ov1v2，考虑函数y=f(v)的单调性。f(v1)-f(v2)= =c时，取v=c(千米/时)，这样可使 y=最小。【说明】 解题关键点：对于应用问题，首先读懂题目，理解题意，其次正确看待常数参数a,b,c在解题中的作用，注意比较它们的大小，分情况进行讨论。解题技巧：运用函数的单调性求函数的最值，是函数中常用的技巧之一 另处，本题中的S纯属我余，完全是为了解题的统一现时引进的一个参数。解题易错点：容易忽略第（2）问中不分c与c两种情况的讨论。方法四：建模法 【例4】 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2, ,an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值a“是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的绝对值的平方和最小。依此规定，从a1,a2, ,an推出的a= 【分析】这是一道1994年全国高考题，其实际背景是物理学科的统计问题，跨学科应用是一种大势的趋，形势必然。要很好地完成这类题型，须做到：读题找出关键词：“n次测量”、“n个数据”，“最佳近似值a”;对新定义概念“最佳近似值a”的准确理解；抓住“a与各个数据的差的平方和最小”的条件建立关于a的目标函数f(a)；求出f(a)的最小值。 【解析】f(a)=(a一a1)2+(a-a2)2+(a-an)2 =na2一2(al+a2+an)a+(al2+a22+an2) 显然，f(a)是关于a的二次函数，且二次项系数n0，故当a=( al+a2+an)时，f(a)最小 故结果应填写“( al+a2+an)” 【说明】 解题关键点：正确审题(包括读题、翻译、挖掘、领悟等)、理解题意，而善于将f(a)的表达式展开后化为以a为主元的二次函数的形式，则是解本题的重要环节 解题规律：解实际应用问题可以分为审题、建模、解模三个方面本题中的审题包括读出关键词，领悟新的定义，文字语言“a与各数据的差的平方和最小”向数学语言或符号语言的准确转换等解题易错点：对“最佳近似值”的含义不理解方法五：分类讨论 【例5】 已知函数y=f(x)=loga(1一ax)(a0且a1) (1)求f(x)的定义域、值域； (2)证明f(x)在定义域上是减函数； (3)求证函数f(x)的图像关于直线y=x对称 【分析】 (1)函数f(x)的定义域即不等式1一ax0的解集，利用指数函数的单调性不难得到而其值域必须由中间变量u=1一ax的取值范围来确定(2)分al和0a0得ax1时，得x0；当0a0. 又0ax1，故01-ax1时,y0；当0a0 综合得，当al时，函数f(x)的定义域、值域都是(-，O)； 当0a1时，任设x1x2f(x2)；当0a1时，任设0 x1f(x2) 所以，无论a1还是0a1，f(x)在其定义域内都是减函数 (3)由y=loga(1- ax)得1- ax =ay，即ax =1- ay，故x= loga(1- ay)，于是f-1(x)= loga(1- ax) 又由(1)知，f(x)的定义域与值域相同，从而f(x)与f-1(x)的定义域相同，因此f(x)= f-1(x)，即函数的反函数即为它本身 因互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称，故函数f(x)和图像关于直线y=x对称 【说明】解题关键点：掌握指数函数、对数函数的图像与性质，理解函数单调性的