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例谈中学数学中的向量构造法http:/www.DearEDU.com河南汤阴一中 杨焕庆 王国伟向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它广泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的许多问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。构造向量除有坚实的基础知识外，还特别要知道实现构造的理论基础：（1）（2）。一. 证明不等式通过构造向量，利用向量的重要不等式：，或，以达证明不等式之目的。 例1. 设a、b、c、d均为正数，求证 证明：构造向量，由得 例2. 若，求证： 证明：构造向量， 则 于是由 有 得 将例1推广到更一般的形式，即有 例3. 若和都是正数，则 证明：构造向量， 于是，由得 从上述证明，发现条件和是正数是多余的。 而且利用还可以推出 例4. 设任意实数x，y满足， 求证： 证明：构造向量， 由向量数量积性质得 所以 即 例5. 设a，b为不等的正数，求证 证明：构造向量，则 因为a，b为不相等的正数，所以，即， 所以例6.已知x0,y0，且x+y=1，求证：。证明：构造向量，则，而，由，得 所以例7.求证：证明：设（1）当至少有一个为零时，所证不等式成立；（2）当都不是零向量时，设其夹角是，则有，因为，即点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！二.研究等量关系例8.已知：。证明：对于任何正整数都有分析：借助向量不等式等号成立的条件，构造向量，可化难为易。证明：构造向量，则，所以，故同向，则即，所以代入题设得：，于是所以例9.已知，求锐角。分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出的值。换一种思路，引入向量，问题迎刃而解。解：由已知得，构造向量，则，由，得，即，则三.求值域或最值例10.求函数的最大值。分析：本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利用向量数量积的性质解答，将会使求解非常容易。解：原函数可变为，设，因为，所以构造向量由得，从而，当且仅当时，例11.求函数的值域。分析：分析函数解析式的特征，结构上接近两个向量的差，于是构造向量。解：设，不共线，即例12.已知x0,y0，且x+y=1，求的最大值利用向量数量积的一个重要性质，变形为可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时提高了学生的观察分析能力和想象能力总之，构造向量法，为我们研究数学问题提供了一种崭
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