2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末归纳整合课件 新人教A版必修2

章末归纳整合 分类讨论思想是一种 化繁为简 化整为零 分别对待 各个击破 再化零为整 的思维策略 由于需要分类讨论的问题存在着诸多不确定性 所以在应用分类讨论思想时应明确分类的对象 确定对象的全体 确定分类的标准 正确分类 逐类进行讨论 获得阶段性的结果 归纳小结 综合结论 分类讨论思想 例1 已知一个平面把空间分成两部分 两个平面把空间可分成3部分或4部分 那么三个平面能把空间分成几部分 你能归纳出n个平面最多能把空间分成几部分吗 解析 设三个平面分别为 由于平面是无限延伸的 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成4部分 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成6部分 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成6部分 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成7部分 当平面 的位置关系如图 所示时 将空间分成8部分 因此n个平面最多能把空间分成2n个部分 空间两条直线的位置关系有且只有相交 平行 异面三种情形 而两条直线垂直有 相交垂直 和 异面垂直 两种情形 在解题时 有时要利用这些结论分情况讨论 变式训练1 如果平面 外有两点a b 它们到平面 的距离都是a 则直线ab和平面 的位置关系一定是 a 平行b 相交c 平行或相交d ab 答案 c 解析 结合图形可知选项c正确 通过添加辅助线或面 将空间几何问题转化为平面几何问题 这是一种降维转化思想 线线 线面 面面的位置关系可以相互转化 使它们建立联系 揭示本质 点面距 线面距 面面距 点线距之间也可相互转化 例如求点面距时 可沿平行线平移 找到一个合适的点求点面距离 这就体现了 点面距 线面距 点面距 的转化思想 等价转化思想 1 线线 线面 面面之间位置关系的转化 例2 2017年北京 如图 在三棱锥p abc中 pa ab pa bc ab bc pa ab bc 2 d为线段ac的中点 e为线段pc上一点 1 求证 pa bd 2 求证 平面bde 平面pac 3 当pa 平面bde时 求三棱锥e bcd的体积 分析 1 要证线线垂直 应转化为证线面垂直 再得线线垂直 2 要证面面垂直 应转化为证线面垂直 进而转化到先证线线垂直 借助 1 的结论和已知条件可证 3 要求锥体的体积 应先找出底面和确定其对应的高 关键是证明线面垂直 借助 1 的结论可证 解析 1 证明 因为pa ab pa bc ab bc b 所以pa 平面abc 又因为bd 平面abc 所以pa bd 转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路 其关系为 变式训练2 在斜三棱柱a1b1c1 abc 侧棱与底面不垂直 中 底面是等腰三角形 ab ac 侧面bb1c1c 底面abc 若d是bc的中点 1 求证 ad cc1 2 过侧面bb1c1c的对角线bc1的平面交侧棱aa1于m 若am ma1 求证 平面mbc1 侧面bb1c1c 解析 1 证明 连接ac 正四棱柱abcd a1b1c1d1的底面是正方形 ac bd 又ac dd1且bd dd1 d ac 平面bdd1b1 e f分别为棱ab bc的中点 ef ac ef 平面bdd1b1 ef 平面b1ef 平面b1ef 平面bdd1b1 求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段 可通过外形进行转化 转化为易于求解的点 等体积法也是求点到平面的距离的常用方法 方法二 如图所示 过a作ae bc 过b作bf ac 交ae于点d 则四边形acbd为正方形 连接sd 因为ac sa ac ad sa ad a 所以ac 平面sda 所以ac sd 空间中直线与平面的位置关系是研究立体几何的核心问题 高考始终把直线与平面平行 垂直关系作为考查的重点 尤其是以多面体 主要是柱体和锥体 为载体的线面位置关系的论证是历年高考必考内容 预计在今后的高考中 选择题 填空题主要考查直线与平面的多重位置关系的判断 多面体模型中求空间角与距离的计算 解答题中主要考查直线与平面的平行与垂直 空间角与距离 或从探究的角度设问 研究直线与平面的位置关系 空间角和距离的计算 1 2017年新课标 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为棱cd的中点 则 a a1e dc1b a1e bdc a1e bc1d a1e ac 答案 c 解析 由正方体的性质得a1b1 bc1 b1c bc1 a1b1 b1c b1 所以bc1 平面a1b1cd 又a1e 平面a1b1cd 所以a1e bc1 3 2018年江苏 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 aa1 ab ab1 b1c1 求证 1 ab 平面a1b1c 2 平面abb1a1 平面a1bc 证明 1 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 ab a1b1 ab 平面a1b1c a1b1 平面a1b1c ab 平面a1b1c 2 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 四边形abb1a1是平行四边形 又 aa1 ab 四边形abb1a1是菱形 ab1 a1b ab1 b1c1 b1c1 bc ab1 bc 又a1b bc b ab1 平面a1bc 而ab1 平面abb1a1 平面abb1a1 平面a1bc 4 2018年北京 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 平面pad 平面abcd pa pd pa pd e f分别为ad pb的中点 求证 1 pe bc 2 平面pab 平面pcd 3 ef 平面pcd 证明 1 在 pad中 pa pd e是ad的中点 所以pe ad 又底面abcd为矩形 所以ad bc 所以pe bc 2 因为底面abcd为矩形 所以ad cd 又因为平面pad 平面abcd