北京海淀区第一学期高三级期末练习数学文

海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（文科） 2008.01学校 班级 姓名 题号一二三总分（15）（16）（17）（18）（19）（20）分数一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）的值是 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）过两点和的直线在轴上的截距为 （ ）（A） （B） （C）3 （D）（3）已知函数的反函数是，那么函数的图象是 ( )（A）（B）（C）（D）（4）已知向量且，则锐角等于 （ ）(A) (B) (C) (D) （5）设、是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题： 若 则 若，则 若，则 若，则其中真命题的序号是（ ）(A) (B) (C) (D) （6）在等差数列中，若，则此数列的前13项之和为( ) （A）39 （B）52 （C）78 （D） 104（7）已知点，B为椭圆+=1的左准线与轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ( )（A） （B） （C） （D）（8）已知函数的定义域是，值域是，那么满足条件的整数数对共有 （ ） （A）2个 （B）3个 （C） 5个 （D）无数个 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.（9）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 .（10）把函数的图象按向量平移得到的函数图象的解析式为 . （11）在正方体中，若M为的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_.（12）已知函数 那么不等式的解集为 .（13）设不等式组所表示的平面区域为S,则S的面积为 ；若，为S内的两个点， 则的最大值为 . （14）平面内有四个点，平面内有五个点.从这九个点中，任取三点最多可确定 个平面；任取四点最多可确定 个四面体. (用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.（15）（本小题共13分）已知函数（I）求的最小正周期和值域；（II）在中，角所对的边分别是，若且，试判断的形状.（16）（本小题共13分）设数列的前项和为，且数列是以2为公比的等比数列.（I）求数列的通项公式；（II）求.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点 . （I） 求证： 平面； （II）求二面角的大小； （III）求证：平面平面.（18）（本小题共12分）某城市有30的家庭订阅了A报，有60的家庭订阅了B报，有20的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭. （）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；（）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；（）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率. （19）（本小题共14分）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为（I）求抛物线S的方程；（II）若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上的两动点，且满足.试说明动直线PQ是否过定点.（20）（本小题共14分）已知二次函数的图象过点，是的导函数，且 .（I）求a的值；（II）若数列满足，且，求数列的通项公式；（III）对于（II）中的数列，求证：.海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（文科） 参考答案及评分标准 2008.01一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案D ABBDAC C二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）(9) (10) (11) (12) (13) (14) ， 三.解答题 （本大题共6小题,共80分）(15) （共13分）解： 4分 5分 7分由，有， 8分 ，,即. 10分由余弦定理及，. 12分 .为等边三角形. 13分 (16) （共13分）解：（I），且数列是以2为公比的等比数列， . 2分 又当时，. 5分 7分 （II） 是以2为首项，以4为公比的等比数列， 9分. 11分 13分(17) （共14分）方法一：（）证明：连结交于，连结. 1分 是正方形， 是的中点.是的中点，是的中位线. 2分 又平面， 3分 又平面，平面. 4分 （）解：取中点，则.作于，连结. 5分 底面，底面. 为在平面内的射影.,. 为二面角的平面角. 7分 设，在中， . 二面角的大小为. 9分 （III）证明：由条件有 平面， 10分 又 是的中点， 平面 11分 由已知 平面 又平面 平面平面 14分方法二：解：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 5分 由故设，则 . 底面，是平面的法向量，设平面的法向量为, , 7分则 即 令,则. 8分, 二面角的大小为 9分（III）， ， 10分 12分又且. 又平面 平面平面. 14分（18）（共12分）解：（）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A， 1分 4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为.（）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B， 5分 8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为.（III） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅”的事件为C， 9分因为有30的家庭订阅了A报，有60的家庭订阅了B报，有20的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30. 所以 12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率为.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30，后面计算有误，给到10分.（19）（共14分）解：(I) 设抛物线S的方程为 显然 1分由 可得 3分由，有，或设则 设，由的重心为则，点A在抛物线S上， 6分抛物线S的方程为 7分（II）当动直线的斜率存在时，设动直线方程为，显然 9分设， 10分将代入抛物线方程，得从而，动直线方程为，此时动直线PQ过定点 12分当直线PQ的斜率不存在时，显然轴，又，为等腰直角三角形.由 得到，此时直线PQ亦过点. 13分综上所述，动直线PQ过定点. 14分 (2