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例说解平面向量题的方法和技巧丁洪凤解平面向量题除用到向量的有关知识外，还常用到一些方法和技巧，现举例说明。一、提取或分配例1 设a是非零向量，且bc，求证的充要条件是。证明：充分性 由可知。必要性 由。因此的充要条件是。二、添项或去项例2 已知a、b为非零向量，求证的充要条件是。证明：充分性因为。必要性 因为，所以ab。三、平方或开方例3 已知向量a、b、c两两所成角相等且不共线，求向量abc的长度及它与a的夹角。解：由已知，得a、b、c的两两所成的角均为120。因为而23所以所以设a与的夹角为，则四、平方与配方例4 对于两个非零向量a、b，求使最小时t的值，并求此时b与的夹角。解：。当时，取最小值，即取得最小值。当时，所以b（atb），所以b与a+tb的夹角为90。五、数形结合法例5 已知a、b是两个非零向量，同时满足，求a与的夹角。解：根据向量加法的几何意义，作图如图1：图1在平面内任取一点O，作为邻边作平行四边形OACB。因为，即，所以OACB为菱形，OC平分AOB，这时ab，所以AOB为正三角形，则AOB60，于是AOC30，即a与a+b的夹角为30。点评：用数形结合法解题直观简单，应该掌握，关键是要树立这种意识。六、整体法在用夹角公式求夹角时，把，看作一个整体，将它们求出代入公式求夹角，这种方法称整体法。例6 已知非零向量互相垂直，非零向量互相垂直，求非零向量a、b的夹角。解：因为，所以即由3，得，由得所以所以点评：解此题前半截用了消元法，为用整体法创造了条件。七、构造法例7 已知，a与b夹角为45，求使向量的夹角是锐角时的取值范围。分析：根据和量ab与ab的夹角是锐角构造不等式求解。解：由已知，得因为夹角为锐角所以即把ab3， 代入上面不等式得解得或点评：有关参数的取值范围问题，常常构造不等式求解。八、待定系数法例8 将二次函数的图像按向量平移后，得到的图像的解析式为，试求p、q、r的值。解：将二次函数的图像按向量a（3，4）平移后，得到图像的解析式为。即，它就是。比较对应项的系数，得故所求的值为p2，q9，r14点评：函数的解析式常用待定系数法。九、反证法例9 向量a、b的夹角为60，且|a|b|，是否存在满足条件的a、b，使，若存在求出向量a、b；若不存在说明理由。分析：是否存在问题，常用反证法。解：假设存在a、b，使成立。因为所以即所以所以则即因为（否则|a|0，与已知|a|b|矛盾）两边都除以，得因为方程所以此方程无实数解，所以不存在
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