2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（四川卷含答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）。第卷1至2页，第卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第卷共10小题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1、已知集合，集合为整数集，则（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是（ ）A、总体 B、个体C、样本的容量 D、从总体中抽取的一个样本【答案】A3、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）A、向左平行移动个单位长度 B、向右平行移动个单位长度C、向左平行移动个单位长度 D、向右平行移动个单位长度【答案】A4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）A、 B、 C、 D、【答案】D5、若，则一定有（ ）A、 B、C、 D、【答案】B6、执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的的最大值为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】C7、已知，则下列等式一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B8、如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为,，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）A、 B、C、 D、【答案】 C.9、设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B10、已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B第卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第卷共11小题。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11、双曲线的离心率等于_。【答案】.12、复数_。【答案】.13、设是定义在上的周期为的函数，当时，则_。【答案】114、平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则_。【答案】 2.15、以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，。现有如下命题：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，”；若函数，则有最大值和最小值；若函数，的定义域相同，且，则；若函数（，）有最大值，则。其中的真命题有_。（写出所有真命题的序号）。【答案】三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、(本小题满分12分) 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，。（）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字，不完全相同”的概率。【答案】（1）；（2）. 本题主要考查随机事件的概率,古典概型等概念及相关计算，考察应用意识（1）由题意，的所有可能为：，共27种.设“抽取的卡片上的数字满足”为事件A，则事件A包括，共3种，所以.因此“抽取的卡片上的数字满足”的概率为.（2）设“抽取的卡片上的数字不完全相同”为事件B，则事件包括，共3种，所以.因此“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率为.17、(本小题满分12分) 已知函数（）求的单调递增区间；（）若是第二象限角，求的值。【答案】（1）；（2）,.试题分析：本题主要考查正弦型函数的性质，二倍角于和差角公式，简单的三角恒等变换等基础知识，考察运算求解能力，考察分类与整合，化归与转化等数学思想（1）；（2）由已知，有，即，.若，则，若，则.综上得，的值为或.18、(本小题满分12分) 在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。（）若，证明：直线平面；（）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，M为线段AB的中点时，直线 平面.试题分析：本题主要考查空间线面平行和垂直的 判定与性质等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力。（）因为四边形和都是矩形，所以.因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以平面ABC.因为直线平面ABC内，所以.又由已知，为平面内的两条相交直线，所以，平面.（2）取线段AB的中点M，连接，设O为的交点.由已知，O为的中点.连接MD，OE，则MD，OE分别为的中位线.所以，连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则.因为直线平面，平面，所以直线平面.即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使得直线平面.19、(本小题满分12分) 设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。（）证明：数列为等差数列；（）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。【答案】（1）详见解析；（2）.试题分析：本题考查等差数列与等比数列的概念、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和、导数的 几何意义等基础知识，考察运算求解能力、推理论证能力。（1）由已知，.当时，.所以，数列是首项为，公比为的等比数列.（2）求导得，所以在处的切线为，令得，所以，.所以，其前项和：两边乘以4得：得：，所以.20、(本小题满分13分) 已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为。（）求椭圆的标准方程；（）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，。当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。【答案】(1) ；（2）试题分析：本题主要考查直线及椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力，考察数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想。（1）由已知得：，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以解得.此时四边形OPTQ的面积.21、(本小题满分14分)已知函数，其中，为自然对数的底数。（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（）若，函数在区间内有零点，证明：。本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.（）当时，所以.当时，由得.若，则；若，则.所以当时，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，所以.（）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能