§3.3　等差比数列

备注：高三数学第一轮复习教案 willer_chen3.3等差（比）数列【教学目标】1通过类比，掌握等差（比）数列性质；2掌握用“化基本量法”解决差（比）数列问题；3利用等差（比）数列性质解决实际问题【教学重点】1化基本量法2等差（比）数列性质【教学难点】等差（比）数列性质的灵活使用【例题设置】例1（等差数列与等比数列中的对偶关系），例2（化基本量法、等差数列图象），例3（等差数列的最值）【教学过程】一、等差数列与等比数列中的对仗关系（类似对联的对仗）等差数列加减倍算术平均数等比数列乘除次方几何平均数例1若数列（）是等差数列，则有数列（）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列是等比数列，且（），则有数列（）也是等比数列答案：变式：在等差数列中，若，则有等式（）成立，类比以上性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式成立答案：（）二、等差（比）数列知识盘点：等差数列等比数列定义（常数）（常数）通项公式（）（）（）（）求和公式 （） ()() ()(，)证明方法定义法（多采用该法）中项公式法：定义法（多采用该法）中项公式法：判定方法；()(，)主要性质通项公式推广及变形：公差公比由通项公式反解即可，有可能有两个解重要结论： 若，则特别地，若，则若，则特别地，若，则特别地，当为奇数时其中，特别地，当为奇数时其中，若是公差为等差数列，成等差数列，公差为数列为等比数列数列为等差数列，公差为数列为等差数列，公差为若数列与均为等差数列，则数列均为等差数列思考:你也能推出什么类似的结论吗？若公比为等差数列，成等比数列，公比为数列为等差数列数列为等比数列，公比为当恒有时，数列为等比数列，公比为若数列与均为等比数列，则数列、均为等差数列若，则例2等差数列中，（），求的值法一：设等差数列的首项为，公差为，则由得，即点评：“化基本量”和“设而不求”是解决等差（比）数列问题的通法，应给予充分的重视法二：设等差数列的首项为，公差为，则记函数，由（）知（）函数的图象过原点，且关于直线对称，即点评：用函数观点解决数列问题是本章中的一大亮点对于等差数列，通项的图象是一条斜率为的直线上的一系列孤立的点，前项和的图象是过原点的抛物线（当时，开口向上；当时，开口向下）上的一系列孤立的点课堂练习设正项等比数列的首项，前项和为，且，求数列的通项公式法一：设等比数列的公比为（），当时，不合题意，舍去当且时，依题意得，整理并解得，即数列的通项公式为法二：原方程可化为设等比数列的公比为（），则（舍去负值），即数列的通项公式为点评：用化基本量法解等比数列前项和时，一定要注意对公比的讨论例3等差数列中，求公差的范围指出中，哪个值最大，并说明理由解：依题意得，解得，即公差的范围为；法一：中最大法二：，记函数其对称轴为，故中最大法三：易知图象过原点，设图象与轴另一个交点为，由知，故对称轴为中最大点评：对于等差数列前项和的最值问题讨论有两种思路：思路一：利用的图象求解；思路二：当时，由（），求出值，即为最大值；当时，由（），求出值，即为最小值【课堂小结】1掌握、等差数列与等比数列中的对仗关系；2“化基本量”和“设而不求”是解决等差（比）数列问题的通法；3对于等差数列，通项的图象是一条斜率为的直线上的一系列孤立的点，前项和的图象是过原点的抛物线（当时，开口向上；当时