利用化归思想进行解题的探索 辅导

利用化归思想进行解题的探索樊宏标 宋玉波化归思想就是转化和归结的思想，是数学学科一种特有的数学思想方法，化归思想的核心是对未解决的问题作等价与非等价转化，我们平时解题的过程实质上就是一个缩小已知与求解差异的过程，一个生题变熟题的过程。因此，解每一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归，平常所见的化归有空间向平面化归，多元向少元化归，高次向低次化归，复杂向简单化归，一般向特殊化归，隐性向显性化归等等，达到化繁为简，化难为易，变正面强攻为侧翼进击，从而找到有效解决问题的方法。一、化空间为平面例1 如图1，在正三棱锥SABC中，ASB40，M、N分别是SB、SC上的点，若SA3，求AMMNNA的最小值。解：M、N是SB、SC上的任意点，AMMNNA在多面体的表面，是空间首尾相连的折线，若把正三棱锥的侧面沿SA“剪开”，把三个侧面展开在同一个平面内，如图2，则M、N的位置是当AMMNNA成一直线时AMMNNA最小，根据余弦定理可求得其最小值为评注：化空间为平面，是指把空间问题转化为平面问题加以解决的一种数学思想。运用此思想，我们通常采用把“折线拉成直线，曲面展成平面”的方法，巧求空间图形表面上两点间的最短距离。二、化高次为低次例2 （2004年高考天津试题）已知函数在处取得极值。讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值。解：依题意，即解得所以令得若则，故f(x)在上是增函数。若则故f(x)在（1，1）上是减函数。所以，是极大值；是极小值。评注：本题通过求导，把三次函数转化成了同学们熟悉的二次函数。主要运用了函数极值的概念，运用导数研究函数性质，意在考查同学们分析问题和解决问题的能力。三、化复杂为简单例3 对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。解：设则于是问题转化为不等式恒成立，求a的范围，这是一个熟悉的含参数的不等式问题。由于不等式对所有实数x恒成立，则其充要条件是解得即解得评注：数学问题在处理中，如果感到困难且问题复杂棘手，可转化问题的结构形状，化归为一个相对简单，便于处理的问题。如本例不等式的系数比较复杂，我们采用了换元的办法，转化成了一个一元二次不等式问题，起到了化复杂为简单的效果。四、化一般为特殊例4 已知，是否存在常数c，使得不等式恒成立？试证明你的结论。解：我们可利用特殊化的思想，考虑不等式等号成立的条件，只要令，可得于是可以考虑取下面先证：由即只要证明 恒成立。同理可证成立。故存在使不等式恒成立。评注：当一个一般问题不易解决时，人们首先想到将问题简化，化成一个特殊问题，而特殊问题像一把钥匙，一面镜子，可以为我们解决问题提供一臂之力，为探索解题途径提供线索和积累经验，并成为解决问题的突破口。五、化隐性为显性例5 解不等式解：不等式可化为得解得评注：此题巧妙地运用了双曲线的定义，将隐性的，需要解决的不等式问题向显性的、熟悉的问题转化，通常用到的有数与形、方程与函数等观念的转化，以期在熟悉的背景下，利用熟悉的方法，获得数学问题的解决。六、化多元为少元例6 在锐角ABC中，若求证：证明：由得所以所以所以把已知条件代入转化为的关系得：为求需两边同除以得：用代换可得：即评注：本题题设条件中有6个字母A、B、C而求证中只有3个字母，因此，解题的过程实际上就是把6个字母化归为3个字母的过程。综上所述，在数学解题时，我们应该设想有一个与此相关的问题，并将其化归成一个相对简单，便于处理的熟悉的问题来解决，但是不能死记“招式”，生搬硬套