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2 4 2抛物线的简单几何性质 1 一 抛物线的定义 平面内 到定点f的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹 定点f不在定直线l上 二 抛物线的标准方程 1 开口向右 y2 2px p 0 2 开口向左 y2 2px p 0 3 开口向上 x2 2py p 0 4 开口向下 x2 2py p 0 一 复习回忆 类比椭圆 双曲线的几何性质 你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质 思考 1 掌握抛物线的范围 对称性 顶点 离心率等几何性质 重点 2 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论 在此基础上列表 描点 画抛物线图形 重点 难点 3 在对抛物线几何性质的讨论中 注意数与形的结合与转化 能否根据研究椭圆 双曲线一样 通过研究抛物线的标准方程来研究它的几何性质呢 我们不妨以抛物线的标准方程 来研究它的几何性质 1 抛物线的几何性质可以从以下几个方面来考虑 范围 对称性 顶点 基本元素 开口方向等等 二 小组合作 探求新知 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 如何研究抛物线y2 2px p 0 的几何性质 即点 x y 也在抛物线上 故抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 则 y 2 2px 若点 x y 在抛物线上 即满足y2 2px 定义 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点 y2 2px p 0 中 令y 0 则x 0 即 抛物线y2 2px p 0 的顶点 0 0 f a b y2 2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦ab 称为抛物线的通径 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 ab 2p 2p越大 抛物线张口越大 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 pf x0 p 2 焦半径公式 f 下面请同学们阅读课本相关内容 理解并掌握抛物线的性质 然后继续分组讨论另外三种抛物线的性质 并归纳总结 三 拓展应用 掌握提高 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点m 解 所以设方程为 因此所求抛物线标准方程为 例 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点m 求它的标准方程 五 学以致用 提高能力 例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 求线段ab的长 1 已知点a 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则p 2 抛物线的弦ab垂直x轴 若 ab 则焦点到ab的距离为 4 2 3 已知直线x y 2与抛物线交于a b两点 那么线段ab的中点坐标是 六 当堂反馈 及时巩固 5 点a的坐标为 3 1 若p是抛物线上的一动点 f是抛物线的焦点 则 pa pf 的最小值为 a 3 b 4 c 5 d 6 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点在直线x 2y 4 0上 2 焦点在轴x上且截直线2x y 1 0所得的弦长为 b 七 归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线只有一个顶
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