一元二次不等式解法课件

第三章 不等式 学习目标 1 理解一元二次方程 一元二次不等式与二次函数的关系 2 掌握图象法解一元二次不等式的方法 3 培养数形结合 分类讨论思想方法 3 2一元二次不等式解法 重点 难点 预习导引 1 一元二次不等式的概念 1 一般地 含有一个未知数 且未知数的的整式不等式 叫做一元二次不等式 2 一元二次不等式的一般表达形式为 或 a 0 其中a b c均为常数 ax2 bx c 0 最高次数是2 ax2 bx c 0 a 0 0 有两相异实根x1 x2 x1 x2 x xx2 x x1 x x2 0 0 有两相等实根x1 x2 x x R 没有实根 2 一元二次不等式 一元二次方程 二次函数之间的关系 3 一元二次不等式的解集设方程ax2 bx c 0 a 0 有两个不等的实数根x1 x2 且x10 a 0 的解集为 ax2 bx c0 的解集为 x x1 x x2 x x x1或 x x2 思考 知识点一一元二次不等式的概念 不等式x2 1的解集为 x x1 该集合中每一个元素都是不等式的解 而不等式的每一个解均属于解集 答案 我们知道 方程x2 1的解集是 1 1 解集中的每一个元素均可使等式成立 那么你能写出不等式x2 1的解集吗 问题导学 梳理 1 形如ax2 bx c 0 0 或ax2 bx c 0 0 的不等式 其中a 0 叫作一元二次不等式 2 使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解 3 一元二次不等式所有解组成的集 叫作一元二次不等式的解集 知识点二 三个二次 的关系 思考 分析二次函数y x2 1与一元二次方程x2 1 0和一元二次不等式x2 1 0之间的关系 答案 0 有两相异实根x1 x2 x1 x2 x xx2 x x1 x x2 0 0 有两相等实根x1 x2 x x R 没有实根 梳理一元二次不等式 一元二次方程 二次函数之间的关系 梳理口诀 当时若ax2 bx c 0的根是x1 x2 x10的解集是 x xx2 口诀 大于取两边 大于大根或小于小根2 ax2 bx c 0的解集是 x x1 x x2 口诀 小于取中间 大于小根小于大根 知识点三一元二次不等式的解法 思考 根据上表 尝试解不等式x2 2 3x 先化为x2 3x 2 0 方程x2 3x 2 0的根x1 1 x2 2 原不等式的解集为 x x2 答案 解一元二次方程的步骤解形如ax2 bx c 0 0 或ax2 bx c 0 0 的一元二次不等式 一般可分为三步 1 确定对应方程ax2 bx c 0的解 求根 2 画出对应函数y ax2 bx c的图象简图 作图 3 由图象得出不等式的解集 写解集 梳理 类型一一元二次不等式的解法 命题角度1二次项系数大于0例1求不等式4x2 4x 1 0的解集 解答 因为 4 2 4 4 1 0 所以方程4x2 4x 1 0的解是x1 x2 所以原不等式的解集为 题型探究 反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时 应先化为一般形式 在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中 要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像 跟踪训练1求不等式2x2 3x 2 0的解集 解答 2x2 3x 2 0的两解为x1 x2 2 且a 2 0 不等式2x2 3x 2 0的解集是 x x 或x 2 命题角度2二次项系数小于0例2解不等式 x2 2x 3 0 解答 不等式可化为x2 2x 3 0 因为 0 方程x2 2x 3 0无实数解 而y x2 2x 3的图像开口向上 所以原不等式的解集是 反思与感悟 将 x2 2x 3 0转化为x2 2x 3 0的过程注意符号的变化 这是解本题关键之处 跟踪训练2求不等式 3x2 6x 2的解集 解答 不等式可化为3x2 6x 20 不等式 3x2 6x 2的解集是 命题角度3含参数的二次不等式例3解关于x的不等式ax2 a 1 x 1 0 解答 反思与感悟 解含参数的不等式 可以按常规思路进行 先考虑开口方向 再考虑判别式的正负 最后考虑两根的大小关系 当遇到不确定因素时再讨论 跟踪训练3解关于x的不等式 x a x a2 0 解答 当a 0或a 1时 有a a2 此时 不等式的解集为 x a x a2 当0 a 1时 有a2 a 此时 不等式的解集为 x a2 x a 当a 0或a 1时 原不等式无解 综上 当a 0或a 1时 原不等式的解集为 x a x a2 当0 a 1时 原不等式的解集为 x a2 x a 当a 0或a 1时 解集为 类型二 三个二次 间对应关系的应用 例4已知关于x的不等式x2 ax b0的解集 解答 由根与系数的关系 可得 不等式bx2 ax 1 0 即2x2 3x 1 0 题型探究 反思与感悟 给出一元二次不等式的解集 相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点 可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数 跟踪训练4已知不等式ax2 bx 2 0的解集为 x 1 x 2 求a b的值 解答 方法一由题设条件知a 0 且1 2是方程ax2 bx 2 0的两实根 方法二把x 1 2分别代入方程ax2 bx 2 0中 课堂检测 1 不等式2x2 x 1 0的解集是 答案 解析 1 2 3 4 2x2 x 1 2x 1 x 1 由2x2 x 1 0 得 2x 1 x 1 0 2x2 x 1 2x 1 x 1 由2x2 x 1 0 得 2x 1 x 1 0 1 2 3 4 2 不等式 6x2 x 2 0的解集是 答案 解析 1 2 3 4 6x2 x 2 0 6x2 x 2 0 2x 1 3x 2 0 x 或x 3 若不等式ax2 8ax 21 0的解集是 x 7 x 1 那么a的值是A 1B 2C 3D 4 答案 解析 1 2 3 4 由题意可知 7和 1为方程ax2 8ax 21 0的两个根 7 1 故a 3 4 若不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0的解集为R 求实数a的取值范围 当a 2 0 即a 2时 原不等式为 4 0 所以a 2时解集为R 1 2 3 4 解答 解得 2 a 2 综上所述 a的取值范围为 2 2 课堂小结 1 解一元二次不等式的常见方法 1 图象法 由一元二次方程 一元二次不等式及二次函数的关系 可以得到解一元二次不等式的一般步骤 化不等式为标准形式 ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c0 求方程ax2 bx c 0 a 0 的根 并画出对应函数y ax2 bx c图象的简图 由图象得出不等式的解集 2 代数法 将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解 当m0 则可得x n或x m 若 x m x n 0 则可得m x n 有口诀