极限思想在小学数学教学中的渗透.doc

日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。”小学是学生学习数学知识的启蒙时期，这一阶段注意给学生渗透基本的数学思想便显得尤为重要。极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化难为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。那么，在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。一、在数学公式推导过程中渗透极限思想片段一：在教学“圆面积公式的推导”一课时，我是这样设计的。师：（课件出示一个圆）要知道这个圆的面积，怎么办？生1：可以把它转化为我们学过的图形。师：怎么转化？生2：把圆平均分。（大屏幕上演示把圆平均分成了2份，把两个半圆使劲的拼，结果还是一个圆。）师：转化不成已经学过的图形，怎么回事？生2：平均分的分数不够多。师：是这样吗？那我们分得多一些，请大家仔细观察。（演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拼成长方形。从平均分成4个、8个到16个。）师：你们发现什么吗？同桌轻轻交流一下。生3：16个拼起来，比较像长方形。生4：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。师：你们都同意他的看法吗？（学生表示同意）那我们再来分一分这个圆。（课件演示把圆平均分成32个、64个完全相同的小扇形。）师：大家仔细看一看，想一想，如果一直这样分下去，拼下去会怎样？生5：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。师：拼成的长方形与原来的这个圆究竟有怎样的关系啊？片段二：在教学圆柱体积公式的推导这一内容时，我作过这么一次尝试。师：如何知道一个圆柱体的体积？生1：以前学习的柱体都是用“底面积高”来求积的，这次也应该是吧？师：那你们就先借助手中的学具操作一下，看能不能有什么发现？（学生动手操作，小组交流。）生2：我发现圆柱体可以通过切割拼成一个近似的长方体因此，圆柱体的体积底面积高。（至此，应该说学生已经基本掌握了圆柱体体积的计算公式，进入应用阶段没多大问题，但蕴涵在其中的思维方法并没有渗透给学生，于是我继续追问。）师：怎样切割，圆柱体就真的变成一个长方体了？生3：将圆柱的底面平均分成无数多份，它的底面就转化为一个长方形，整个圆柱也就成了一个长方体。（师进行课件演示）师：还有不同的思考方法吗？生：将圆柱沿高的方向切分成无穷多个细长的长方体。每个长方体的体积都是“底面积高”，根据乘法分配律，这无穷多个小长方体的体积之和正好是“它们的底面积之和高”，也即圆柱体的“底面积高”。以上两个计算公式的推导过程，均采用“化圆为方”、“变曲为直”的极限分割思路。在“观察有限分割”的基础上，“想象无限细分”，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。这样不仅使学生掌握了圆的面积和圆柱体体积的计算公式，而且非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。二、在教学新的知识点时渗透极限思想片段一：在循环小数的教学中，许多人认为0.99这个数无论小数点后面9的个数怎样增多，它始终只能越来越接近1，而不等于1。我在教学过程中从两方面来说明0.99等于1。首先学生很容易理解=13=0.33，=23=0.66，因为+=1，所以0.33+0.66=1，也就是0.99=1；其次，0.99和1比较大小，让学生找大于0.99而小于1的数，学生找不到这样的数，从而告诉学生0.99=1。教师还可以让学生通过检验体会到任何一个循环小数可以改写成分数,比如:0.888=0.8+0.08+0.008+=，0.4545=0.45+0.0045+0.000045+=。片段二：在教学行程问题时，我给学生讲了这样一个故事：兔子和乌龟赛跑，起初乌龟在兔子前100米，兔子每分走10米，乌龟每分走1米，兔子永远追不上乌龟。学生们感到很诧异，接下来我就说明了兔子永远追不上乌龟的理由：当兔子走完100米的时候，乌龟已经向前走了10米，当兔子再向前走10米的时候，乌龟又向前走了1米，当兔子继续向前走1米的时候，乌龟又向前走了0.1米，当兔子再向前走0.1米的时候，乌龟又向前走了0.01米，所以兔子永远追不上乌龟。片段一中的教学，让学生体会到“0.99”这个小数后面的“9”有无穷多个,到底有多少个，没人能说清楚，但有一点是肯定的，这个数的终极状态就是1。片段二中，学生显然不接受“兔子永远追不上乌龟”这个观点，其实兔子追上乌龟的时间是10+1+0.1+0.01+0.001+=(分)，但这样的教学却可以使学生在头脑中初步萌生出“无限”的概念。我以为，如此教学不但能激发学生学习数学的兴趣，而且对于发展学生智力，培养学生良好的思维能力是十分有益的，更重要的是渗透给学生极限的思想方法。三、在数学练习题中挖掘极限思想片段一:商不变性质教学后我让学生练习：（32）（8）4师：这题怎么填？生：填4。师：有不同答案吗？生2：1。生3：可填19各数。生4：可填任何数，只要相同就可以了。师：你们明白他的意思吗？生：0除外片段二:在学习分数基本性质后的练习中，我又要求学生在1分钟内写一些与相等的分数。师：你写了几个？生1：我写了2个。生2：我写了8个。生3：28个。师：如果有时间让你们继续写，还能写吗？片段三：在学生完成“一个苹果，今天吃它的，明天吃它的的，还剩这个苹果的几分之几？”之后，我又出了这样一道思考题：一个苹果，今天吃它的，明天吃它的的，后天吃它的的的，如果这样下去，这个苹果吃得完吗？通过同学们的讨论得出这样的结论：这个苹果是永远吃不完的，理论上是这样，实际上也是这样，尽管苹果越来越小，但还是有的（只要你有耐心，米粒大的物质是有的）。我们只能说，这个苹果的极限为零，但却绝不为零。如果单从解题的角度看，以上三道题，学生很容易找到答案，而且不会费时太多，但学生们还没有得到此题的精髓，也就是题中所包含着什么样的规律，体现了怎样的数学思想，教师还应该给学生们挖出来。片段一中的“有不同答案吗？”，片段二中的“如果有时间让你们继续写，还能写吗？”，片段三中的后续试题，都使极限理论中无穷的概念在学生头脑中产生了朦胧的定义。这为他们将来学习极限理论，提高抽象思维，做了很好的铺垫。当然，在小学数学教学中，能够挖掘渗透极限思想的地方还很多，譬如：在教学平面图形的面积时，可以先教梯形的面积计算公式，再让梯形的上底趋于0，利用极限思想得到三角形的面积计算公式，甚至在此之后，把长方形、正方形、平行四边形面积计算公式都看成是梯形面积计算公式的极限形式。教学圆的面积之后，我们仍可以继续对学生渗透极限的思想。把圆平均分成n份，n越大每一份就越小，要求圆的面积只要先求一个小扇形的面积。当n无穷大时，这个小扇形可以看作是一个三角形。因为三角形的高等于圆的半径，底等于圆周长除以n，所以三角形的面积S=(2rn)r=r2n。从而同样能同样推导出圆的面积S=r2。在学会简便计算以后，引导学生试求数列，的前n项和。使学生理解，不论加到什么时候，结果总是得：最后一个加数，并且其结果总是不超过。在小数的性质教学之后，让学生写出和0.3相等的小数；在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。总之，极限思想是人类思想文化宝库中的瑰宝，是对数学知识的本质反映，是知识向能力转化的纽带。在小学数学