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思考 这些函数有什么共同的特征 我们先看下面几个具体问题 1 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克 那么她需要支付p w元 这里p是w的函数 2 如果正方形的边长为a 那么正方形的面积s a2 这里s是a的函数 3 如果立方体的边长为a 那么立方体的体积v a3 这里v是a的函数 5 如果某人t秒内骑车行进了1km 那么他骑车的平均速度v t 1km s 这里v是t的函数 4 如果一个正方形场地的面积为s 那么这个正方形的边长 这里a是s的函数 他们有以下共同特点 1 都是函数 3 均是以自变量为底的幂 2 指数为常数 一 掌握幂函数的定义并学会判断一个函数是否为幂函数 二 研究并掌握五种幂函数的图像与性质并领会研究一种未知函数的图像与性质的思想方法 一 幂函数的定义1 解析式 2 自变量 常数 一般地 函数y 叫做幂函数 其中x是自变量 是常数 y x x 注意 幂函数中 的可以为任意实数 二 思考 一次函数与二次函数一定是幂函数吗 提示 不一定 例如 一次函数y x 1 二次函数y x2 1等都不是幂函数 例一 判断下列函数是否为幂函数 幂函数解析式的结构特征1 指数为常数 2 底数是自变量 自变量的系数为1 3 幂x 的系数为1 4 只有1项 对于幂函数 我们只讨论a 1 2 3 1时的情形 那么请同学们自主研究这五种幂函数的图像与性质 其中大家可以尝试着去先判断并证明一下y x3和的单调性 例二 证明y x3在r上单调递增 例三 证明在上单调递增 幂函数的图象与性质1 五种常见幂函数的图象 2 五类幂函数的性质 r r r 0 0 0 r 0 r 0 y y r且y 0 奇 偶 奇 非奇非 偶 奇 增 增 减 增 增 减 减 1 1 一 判断幂函数的方法一般地 函数y 叫做幂函数 其中x是自变量 是常数 根据 1 指数为常数 2 底数是自变量 自变量的系数为1 3 幂x 的系数为1 4 只有1项 二 通过对未知函数的单调性 奇偶性等研究函数的图像达到对函数性质和图像紧密联系的认知 体会其中数形结合的思想 1 下列函数中不是幂函数的是 abcd2 下列幂函数在上为减函数的是 abcd3 设 则使函数的定义域为r且为奇函数的所有值为 4 已知函数 a为何值时 此函数为幂函数 5 已知幂函数的图象过点 则它的最小值是 c b 1 3 1或2 0 提高题 1 下列命题 幂函数的图象都经过点 幂函数的图象不可能在第四象限 当时 的图象是一条直线 幂函数 当时 是增函数 幂函数 当时 在第一象限内函数值随x的增大而减小 为真命
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