切点坐标解决有关切线问题的钥匙

切点坐标解决有关切线问题的钥匙 导数的应用在高考考查中越来越受到重视，其中有一类是考查切线问题，一般解决与曲线y=f(x)切线有关问题时，可先设出切点坐标Q（x0,y0），然后运用切点坐标的一拖三作用解题，即：切线的斜率为k=f(x0)；切点在切线上：y-y0=k(x-x0)或；切点在已知曲线上y0=f(x0)；将问题转化为函数与方程问题求解。例1：(2004年重庆文15)已知曲线，则过点的切线方程是_解：显然P在曲线上， 若P为切点，则y|x=2=x2|x=2=4，故切线方程为y=4x-4 若P不为切点，设切点Q（x0,y0）,则 切线斜率k=y|x=x0=x02 (I) y0=x03+ (II) y0-4=x02(x0-2) (III)由（II）（III）得:x03-3x02+4=0,x0=-1或x0=2（舍）故切线为：y=x+2综上得切线为：y=4x-4或y=x+2注：本题在标答中将P不是切点的情况遗漏了；求解中三次式的因式分解可采用试根法。例2：已知函数y=f(x)=x3+px2+qx图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值=-4，求p,q的值。解：设与x轴相切的切点A(a,0)(a0)则f (a)=3a2+2pa+q=0又f(a)=a3+pq2+qa=0解得：p=-2a,q=a2又由f(x)=3x2-4ax+a2=0,得：x=或x=a(舍)时，y极小值=-4即f()=-4,a=-3,得：p=6,q=9评：解题中首先由切点在直线y=0上，设出切点坐标，再由切线斜率为0、切点在曲线上及可导函数在极值点处导数为0建立关于a, p ,q的方程组是解题关键。例3：（2004苏锡常镇四市联考）若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a= 解：设y=x与y=x3-3x2+ax切于点P(x0,y0)则y|x=x0=3x02-6x0+a=1又P在曲线上，x03-3x02+ax0+a=x0,消a得：x03-3x02+6x02-3x03=0,解得：x0 =0， 或x0 =从而a=1或a=评：求a的值就是解方程（组）。例4：（2004南通市调研题）过三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)上异于对称中心（）的任一点P1(x1,y1)作f(x)图象的切线，切于另一点P2(x2,y2)，再过P2(x2,y2)作f(x)图像的切线，和f(x)切于点P3(x3,y3)，如此下去，得到P4(x4,y4), P5(x5,y5) Pn(xn,yn)求xn与xn+1的关系。分析：f(x)=3ax2+2bx+c，设直线PnPn+1是过Pn且与f(x)的图像切于点Pn+1的切线，且已知切点坐标Pn+1(xn+1,yn+1)，点P(xn,yn)在切线上，则一方面有：kPnPn+1=f(xn+1)=3axn+12+2bxn+1+c另一方面对切线PnPn+1有：=axn+12+axn+1xn+axn2+bxn+1+bxn+c3axn+12+2bxn+1+c= axn+12+axn+1xn+axn2+bxn+1+bxn+c即2axn+12-axn+1xn-axn2+bxn+1-bxn=a(2xn+1+xn)(xn+1-xn)+b(xn+1-xn)=0又xn+1xn ,a(2xn+1+xn)+b=0即xn+1=评：紧扣切点坐标的一拖三作用，解题中运用了斜率的算两次，即：例5：(2003年天津文)已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.分析：由题意公切线是与两曲线均相切的直线，故应分别设出切点坐标，C1和C2 有且仅有一条公切线即公切线对应的切点有且仅有一组解。（）解：函数y=x2+2x的导数y=2x+2,曲线C1在点P（x1,x+2x1）的切线方程是：y(x12+2x1)=(2x1+2)(xx1),即 y=(2x1+2)xx12 函数y=x2+a的导数y=2x, 曲线C2 在点Q（x2,x12+a）的切线方程是即y(x22+a)=2x2(xx2). y=2x2x+x22+a . 如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程， x1+1=x2所以 x12=x22+a.消去x2得方程 2x12+2x2+1+a=0.若判别式=442（1+a）=0时，即a=时解得x1=，此时点P与Q重合.即当a=时C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为 y=x .（）证明：由（）可知.当a时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为：P（x1,y1）, Q（x2 , y2 ）.其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=1,y1+y2=x12+2x1+(x22+a)= x12+2x1(x1+1)2+a=1+a . 线段PQ的中点为同理，另一条公切线段PQ的中点也是所以公切线段PQ和PQ互相平分.在高考中重视通则通法的考查，有关切线问题的切点法，主要运用导数、方程与函数的知识，是解与切线有关问题的一个通法。练习：1、若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为（ ）A(1,3) B(-1,3) C(1,0) D(-1,0)2、若曲线y=h(x)在点P(a,h(a)处切线方程为2x+y+1=0，那么 （ ）Ah(a)0 Ch(a)=0 Dh(a)的符号不确定3、已知曲线上一点M处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程只能是（ ）A5x+5y-4=0 B5x-5y-4=0 C5x-5y+4=0 D以上都不是4、若曲线y=x3-2x+a与直线y=3x+1相切，则常数a的值为 5、已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y= -12x.求函数f(x)的解析式；求函数f(x)在-3，1上的值域。6、设函数f(x)=x3+ax2+bx+c和g(x)=4x2-7x+2满足下列两个条件，求的值。f(x)在x =-1处有极值。曲线y= f(x)和y= g(x)在点(2,4)处有公切线。7、已知函数y=f(