安徽全国示范高中名校高三数学上学期月考理

安徽省全国示范高中名校2020届高三数学上学期9月月考试题 理（含解析）本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟.考试范围：集合与常用逻辑用语，函数与导数.注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，集合，则的子集个数为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】先求出,再求出,然后利用公式进行计算可得.【详解】，子集个数为4故选B.【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.2.已知函数（且）的图像恒过定点P，点P在幂函数的图像上，则（）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】令,可得定点,代入,可得幂函数的解析式,进而可求得的值.【详解】令,得,所以，幂函数 ，故选A.【点睛】本题考查了指数函数,幂函数,属基础题.3.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据以及充分不必要条件的定义可得.【详解】因，所以,所以”是“”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.4.已知命题，则（）A. ，且为真命题B. ，且为假命题C. ，且为真命题D. ，且为假命题【答案】D【解析】【分析】命题的否定在否定结论的同时量词作相应改变，求导易得p为真命题，【详解】易得,令,则,所以当时,递减;当时, 递增,所以 时,即恒成立,所以命题 为真命题,则为假命题.故选D【点睛】本题考查了命题及其真假的判断,属基础题.5.已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为，显然是奇函数，求导易得在R上单调递增.【详解】因为，显然是奇函数，又,所以在R上单调递增.只有C符合,故选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.6.已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断命题的真假,再根据真值表可得.【详解】当时，故p为假命题由与的图像可知q为真命题，故选B【点睛】本题考查了命题的真假以及真值表,属基础题.7.在九章算术方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类比上述结论可得的正值为（）A. 1B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意,通过类比可得: ,再解方程可得.详解】由题意可得，解得故选C.【点睛】本题考查了推理与证明中的类比推理,属中档题.8.设，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数的单调性可得 ,通过指数函数的性质可得 .【详解】，故选D【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.9.定义在R上的奇函数满足，且当时，则（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.【详解】，故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.10.已知函数，则（）A. 只有极大值B. 只有极小值C. 既有极大值也有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】B【解析】【分析】先求得,再分别令和得到两个关于 ,的方程,联立组成方程组可解得 ,并代入,再根据极值的定义可得.【详解】，且，解得，在处取得极小值，故选B【点睛】本题考查了函数的极值的概念,属中档题.11.设函数，若关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将问题转化为当时，恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.【详解】因为关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根所以当时， ，有一根，当时，恒有两个正根，由二次函数的图象可知 对任意的恒成立，所以 解得故选B【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.12.若，恒成立，则整数k的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】恒成立，即恒成立, 即的最小值大于k,再通过,二次求导可求得.【详解】恒成立，即恒成立，即的最小值大于k，令，则，在上单调递增，又，存在唯一实根a，且满足，当时，；当时，故整数k的最大值为3故选C【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.由曲线与直线围成的封闭图形的面积为_【答案】【解析】【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，结合图像可知围成的封闭图形的面积.【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，如图: 结合图像可知围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.14.原命题“若，则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是_【答案】3【解析】【分析】根据原命题为真,否命题为真以及原命题与其逆否命题同真假可得.【详解】易知原命题为真命题，所以逆否命题为真,命题否命题“若，则”为真命题，故逆命题为真命题【点睛】本题考查了命题与其逆否命题同真假,属基础题.15.已知是偶函数，则_【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的定义,由 恒成立可得.【详解】由得， ，【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题.16.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】把函数f(x)变成两个函数，的图像问题。【详解】设，则，当时，当或时，在，上单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，作出与的函数图象如图：显然当时，在上恒成立，即无正整数解，要使存在唯一的正整数，使得，显然，即，解得故答案为【点睛】函数零点问题，恒成立与存在性问题，若能分离参数，则通过分离参数可得出参数的范围，若不能分离参数，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设集合，（1）若，求；（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)将代入,求得,再求得;(2)将问题转化为集合B是集合A的真子集,再根据真子集关系列式可得.【详解】（1）由已知可得，（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，或，实数a的取值范围是【点睛】本题考查了集合的运算,集合之间的关系以及充分必要条件,属中档题.18.已知函数是定义在的奇函数（其中是自然对数的底数）.（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）因为函数是上的奇函数，故可得方程，从而可得的值，然后再对的值进行验证；（2）根据导数可求出函数为单调递增函数，又由于函数为奇函数，故将不等式转化为，再根据函数的定义域建立出不等式组，从而得出的取值范围。【详解】解：（1）是定义在奇函数， ，当m=1时， .（2） ,且，当且仅当时，取“=”，在恒成立， 在单调递增，又函数为奇函数， , .【点睛】本题考查了函数性质的综合运用能力，解题的关键是要能够准确地求出函数的奇偶性与单调性，函数奇偶性的常见判断方法是定义法、特殊值法等，函数单调性常见的判断方法是定义法、导数法等。19.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若在区间上有最小值，求a的值【答案】（1）当时, 在R上为增函数;当时, 在，上为增函数，在上为减函数;当时, 在，上为增函数，在为减函数（2）【解析】【分析】(1)求导后,对 分三种情况讨论可得;(2)利用第(1)问的单调性分三种情况,求得函数的最小值与已知最小值相等,列式可解得.【详解】（1） ，当时，则，所以在R上为增函数；当时，所以在，上为增函数，在上为减函数；当时，所以在，上为增函数，在为减函数（2）由（1）知，当时，在上为增函数，所以，与题意矛盾；当时，在上为增函数，所以，与题意矛盾；当时，在上为减函数，在上为增函数，所以，解得，与矛盾；当时，在上为减函数，所以，解得，满足题意综上可知【点睛】本题考查了分类讨论,利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数的最值,属难题,20.已知命题p：函数是R上的增函数；命题q：函数在上单调递增，若“”为真命题，“”也为真命题，求a的取值范围【答案】【解析】【分析】利用导数得到都为真命题时的范围,再将“”为真命题，“”也为真命题,转化为 同真或同假可得.【详解】若p为真命题，若q为真命题，故在上递增，由己知可得若p为真命题，则q也为真命题；若p为假命题，则q也为假命题，当p，q同真时，；同假时，故【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及复合命题的真假.属中档题.21.已知函数（1）若，求曲线在点处切线方程；（2）当时，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)当 时,利用导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程;(2)当 时,将恒成立转化为恒成立,由 使不等式成立得到,然后构造函数求导,对分三种情况讨论可得.【详解】（1）当时，切线方程为，即（2）当时，即，令，则，当时，满足题意；当时，在上递增，由与的图像可得在上不恒成立；当时，由解得，当时，当时，在上的最小值为，解得综上可得实数a的取值范围是【点睛】本题考查了导数的几何意义,不等式恒成立,利用导数求函数的最值,属难题.22.已知函数（1）若有两个零点，求a的取值范围；（2）设，直线的斜率为k，若恒成立，求a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求导得,当时,可得在上是增函数，不可能有两个零点, 当时,利用导数可以求得函数在定义域内的最大值为,由，解得.然后根据, 得到在上有1个零点；根据,得到在上有1个零点,可得的取值范围.(2)利用斜率公式将恒成立,转化