线性代数习题及解答.doc

线性代数习题一说明：本卷中，A-1表示方阵A的逆矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，|表示向量的长度，T表示向量的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设行列式=2，则=（ ）A-6B-3C3D62设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E，则矩阵X=（ ）AE+A-1BE-ACE+ADE-A-13设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A可逆，且其逆为B不可逆C可逆，且其逆为D可逆，且其逆为4设1，2，k是n维列向量，则1，2，k线性无关的充分必要条件是（ ）A向量组1，2，k中任意两个向量线性无关B存在一组不全为0的数l1，l2，lk，使得l11+l22+lkk0C向量组1，2，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示D向量组1，2，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5已知向量则=（ ）A（0，-2，-1，1）TB（-2，0，-1，1）TC（1，-1，-2，0）TD（2，-6，-5，-1）T6实数向量空间V=(x, y, z)|3x+2y+5z=0的维数是（ ）A1B2C3D47设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是（ ）A+是Ax=0的解B+是Ax=b的解C-是Ax=b的解D-是Ax=0的解8设三阶方阵A的特征值分别为，则A-1的特征值为（ ）ABCD2,4,39设矩阵A=，则与矩阵A相似的矩阵是（ ）ABCD10以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ）A正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B正定矩阵的行列式一定小于零C正定矩阵的行列式一定大于零D正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11设det (A)=-1，det (B)=2，且A，B为同阶方阵，则det (AB)3)=_12设3阶矩阵A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=_13设方阵A满足Ak=E，这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=_14实向量空间Rn的维数是_15设A是mn矩阵，r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为_16非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是_17设是齐次线性方程组Ax=0的解，而是非齐次线性方程组Ax=b的解，则=_18设方阵A有一个特征值为8，则det（-8E+A）=_19设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则|Px|=_20二次型的正惯性指数是_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式22设矩阵A=，且矩阵B满足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵B23设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来24设三阶矩阵A=，求矩阵A的特征值和特征向量25求下列齐次线性方程组的通解26求矩阵A=的秩四、证明题（本大题共1小题，6分）27设三阶矩阵A=的行列式不等于0，证明：线性无关线性代数习题二说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。 表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设3阶方阵A的行列式为2，则( )A.-1B.C.D.12.设则方程的根的个数为（ ）A.0B.1C.2D.33.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若则必有（ ）A.B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ）A.B.C.D.5.设其中则矩阵A的秩为（ ）A.0B.1C.2D.36.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ）A.0B.2C.3D.47.设向量=（1，-2，3）与=（2，k，6）正交，则数k为（ ）A.-10B.-4C.3D.108.已知线性方程组无解，则数a=( )A.B.0C.D.19.设3阶方阵A的特征多项式为则( )A.-18B.-6C.6D.1810.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ）A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为_.12.设则_.13.设A是43矩阵且则_.14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为_.15.设线性无关的向量组1，2，r可由向量组1，2，,s线性表示，则r与s的关系为_.16.设方程组有非零解，且数则_.17.设4元线性方程组的三个解1，2，3，已知则方程组的通解是_.18.设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为_.19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=_.20.设实二次型已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵其中均为3维列向量，且求22.解矩阵方程23.设向量组1=（1，1，1，3）T，2=（-1，-3，5，1）T，3=（3，2，-1，p+2）T，4=（3，2，-1，p+2）T问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组,（1）确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵A的特征值为及方阵（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明习题一答案习题二答案线性代数习题三说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=( )A.-8 B.-2 C.2 D.82.设矩阵A=,B=(1,1),则AB=( )A.0 B.(1,-1) C. D. 3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA4.设矩阵A的伴随矩阵A*=,则A-1= ( )A. B. C. D. 5.下列矩阵中不是初等矩阵的是( )A. B. C. D. 6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有( )A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆7.设向量组1=(1,2), 2=(0,2),=(4,2),则 ( )A. 1, 2,线性无关 B. 不能由1, 2线性表示C. 可由1, 2线性表示,但表示法不惟一 D. 可由1, 2线性表示,且表示法惟一8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0 B.1 C.2D.39.设齐次线性方程组有非零解,则为( )A.-1 B.0 C.1 D.210.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是( )A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式的值为_.12.已知A=,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_.13.设矩阵A=,P=,则AP3=_.14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_.15.已知向量组1,=(1,2,3),2=(3,-1,2), 3=(2,3,k)线性相关,则数k=_.16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, 1, 2, 3为该方程组的3个解,且则该线性方程组的通解是_.17.已知P是3阶正交矩,向量_.18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_.19.与矩阵A=相似的对角矩阵为_.20.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21.求行列式D=22.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.23.若向量组的秩为2,求k的值.24.设矩阵(1)求A-1;(2)求解线性方程