正多边形的有关计算

24 3正多边形和圆 1 各边相等 2 各角相等 特点 60 思考 提问 A B C D A B 同理 B C D E 又五边形ABCDE的顶点都在 O上 五边形ABCDE是 O的内接正五边形 O是正五边形ABCDE的外接圆 定理1 把圆分成n n 3 等分 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形 O A B G 正多边形的中心角为360 n 内角和为 n 2 180 每个内角为 n 2 180 n 外角和为360 总结 半径 外接 边心距 内切 中心 H I G J K L 证明 ABCDEF是正六边形 AB BC CD DE EF AF A B C D E F 点G H I J K L分别是AB BC CD DE EF AF的中点 AG BG BH CH CI DI DJ EJ EK FK AL FL AGL BHG CIH DJI EKJ FLK G H I J K L GHIJKL是正六边形 GH HI IJ JK KL GL 解 OA AB 理由如下 AOB 360 6 60 OA OB AOB是等边三角形 OA AB 正六边形ABCD的半径等于边长 A B C D E BCD EDC SAS BC ED CD DC DB CE 同理可得AC AD BD BE BE CE 正五边形的对角线相等 例 如图 有一个亭子 它的地基是半径为4m的正六边形 求地基的周长和面积 结果保留小数点后一位 解 连接OB OC 六边形ABCDE是正六边形 它的中心角 BOC 360 6 60 OB OC BOC是等边三角形 OB BC 4m OP BC BP CP BC 1 2 2 过点O作OP BC于P 在Rt BOP中 r OP OB BP 4 2 2 3 亭子地基的周长l 6 4 24 m S 6S BOC lr 1 2 24 2 3 1 2 24 3 41 6 m 答 亭子的周长为24m 面积约为41 6m A B C D E F O P 1 正n边形中心角是 360 n 2 n的边形一个内角的度数是 n 2 180 n 3 正多边形的中心角与外角的大小关系是 相等 都等于 360 n 探究 4 若一个正多边形的一外角是40 则这个正多边形的边数是 9 综合运用 例1 如图所示 AD是 BAC的 P为平分线BC延长线上一点 且PA PD 求证 PA是 O的切线 B C A P O D E 证明 作直径AE 连接CE AD是 BAC的平分线 DAB DAC PA PD 2 PAD PAD 1 DAC 2 B DAB 1 B E B AC AC E 1 AE是 O的直径 ACE 90 E EAC 90 1 EAC 90 EA AP AP是 O的切线 2 1 即 EAP 90 A B O D F E C 例2 如图所示 在 O中 AB是直径 AC为弦 过点C作CD AB于D 将 ACD沿AC翻折 使点D落在点E处 AE交 O于点F 连接OC FC 求证 CE是 O的切线 若FC AB 求证 四边形AOCF为菱形 证明 由翻折可知 FAC OAC E ADC 90 OA OC OCA OAC FAC OAC OC AE E 90 O