安徽亳州第二中学高三数学下学期教学质量检测理

安徽省亳州市二中2017届高三下学期教学质量检测数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，函数的定义域为，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，故选A.2. 复数的共轭复数为，若为纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，则 ，它为纯虚数，则，即，所以，故选D3. 若展开式的常数项为（ ）A. 120 B. 160 C. 200 D. 240【答案】B【解析】(1x+2x)6 展开式的通项为Tk+1=C6k(1x)6k(2x)k=2kC6kx2k6 ,令2k6=0 ,得k=3,所以展开式的常数项为23C63=160,选B.4. 若a=(12)10，b=(15)12，c=log1510，则a,b,c大小关系为（ ）A. abc B. acb C. cba D. bac【答案】D【解析】0(12)15(12)0=1，即0a1，而cac，故选D.5. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，该几何体是四棱锥，它可以看作是从正方体中截出的平分，其四个侧面都是直角三角形，故选C6. 二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”执行如图所示的程序框图，若输入则输出的值A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】根据二分法，程序运行中参数(x1,x2),n值依次为：(1,2),1，(1,1.5),2，(1.375,1.5),3，(1.375,1.4375),4，(1.38125,1.4375),5，(1.409375,1.4375),6，(1.409375,1.4234),7，(1.4094,1.4164),8，此时满足判断条件，输出n，注意是先判断，后计算n+1，因此输出的n=7，故选B7. 将函数f(x)=23cos2x2sinxcosx3的图象向左平移t(t0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）A. 23 B. 3 C. 2 D. 6【答案】D【解析】f(x)=23cos2x2sinxcosx3=231+cos2x2sin2x3=2cos(2x+6) ,平移后函数y=2cos(2x+2t+6) 为奇函数,所以2t+6=k+2,kZ ,解得t=k2+6,kZ,所以当k=0 时, 有最小值6 .8. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为a,b，且直线ax+by+8=0与以A(1,1)为圆心的圆交于B,C两点，且BAC=120，则圆C的方程为（ ）A. (x1)2+(y+1)2=1 B. (x1)2+(y+1)2=2C. (x1)2+(y+1)2=1817 D. (x1)2+(y+1)2=1215【答案】C【解析】按照分层抽样的特点,高一高二高三抽取的人数分别为40,36,24.所以a=40,b=24,直线方程为40x+24y+8=0 ,即5x+3y+1=0,圆心A(1,1) 到直线的距离d=|53+1|52+32=334 ,由于BAC=1200 ,所以圆的半径r=2d=634 ,故圆的方程为(x1)2+(y+1)2=1817 ,选C.9. 已知函数fx=2sinx+10,2，其图象与直线y=1相邻两个交点的距离为，若fx1对x12,3恒成立，则的取值范围是A. 12,6 B. 6,2 C. 12,3 D. 6,3【答案】A【解析】试题分析：令，得到，即的图像和相邻两个交点的距离为，故，所以根据题意，若f(x)1对x(12,3)恒成立，即，所以当时，当时，所以，结合选项，当时，故选D.考点：三角函数的性质【方法点击】本题考察了三角函数的性质和图像，一般求，可根据周期求解，求可根据“五点法”求解，求值域或是单调区间时，根据复合函数求解，一般可写成，选择将代入求的范围，（1）如果求值域，那么就根据的范围，求的范围，（2）如果求函数的单调区间，让落在相应的函数的单调区间内，（3）本题恒成立，解得，那么的范围是不等式解集的子集.10. 已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2过F2作一条直线（不与x轴垂直）与椭圆交于A,B两点，如果ABF1恰好为等腰三角形，该直线的斜率为A. 1 B. 2 C. 2 D. 3【答案】A【解析】设AF1=m，则AF2=2am，BF2=ABAF2=m(2am)=2m2a，于是BF1=2aBF2=2a(2m2a)=4a2m，又F1AB=90，所以BF1=2m，所以4a2m=2m，a=2+24m，因此AF2=2am=22m，tanAF2F1=AF1AF2=m22m=2，直线AB斜率为2，由对称性，还有一条直线斜率为2，故选C11. 已知抛物线C1:y2=8ax(a0)，直线倾斜角是45且过抛物线C1的焦点，直线被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：x2a2y2b2=1的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是（ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】抛物线的焦点为(2a,0),由弦长计算公式有8asin2450=16a=16,a=1 ,所以抛物线的标线方程为y2=8x,准线方程为x=2 ,故双曲线的一个焦点坐标为(2,0),即c=4 ,所以b=c2a2=41=3 ,渐近线方程为y=3x,直线方程为y=x2,所以点P(0,2),点P到双曲线的一条渐近线的距离为|-2|3+1=1 ,选D.点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出a的值,根据双曲线中a,b,c的关系求出b ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离.12. 已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f(x)，则命题P:“x1,x2R，且x1x2，|f(x1)f(x2)x1x2|2017”是命题Q：“xR，|f(x)|2017”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件【答案】B【解析】构造函数f(x)=x3+2017x ,则f(x1)f(x2)x1x2=(x13+2017x1)(x23+2017x2)x1x2=(x12+x22+x1x2)+20172017,所以|f(x1)f(x2)x1x2|2017 ,但|f(x)=3x2+2017|2017,所以命题P不能推出命题Q;由导数的定义,f(x)=limx1x20f(x1)f(x2)x1x2 ,所以当|f(x)|2017有|f(x1)f(x2)x1x2|b0，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M,N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN若MPO=60,MNQ=30，则该双曲线的离心率为_【答案】2【解析】M,Q关于原点对称，kMNkQN=b2a2，kMN=3，kQN=33，b2a2=1，e=ca=1+b2a2=2点睛：设M(x1,y1),N(x2,y2)是双曲线x2a2y2b2=1上的两点，Q是M关于原点的对称点，则Q(x1,y1)，kMNkQN=y1y2x1x2y1y2x1x2=y22y12x22x12，又x12a2y12b2=1，x22a2y22b2=1，两式相减得x12x22a2y12y22b2=0，y12y22x12x22=b2a2，所以kMNkQN=b2a2，同理若M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆x2a2+y2b2=1上的两点，Q是M关于原点的对称点，则kMNkQN=b2a2，圆锥曲线中的有些特殊结论如果能记住，在解选择填空题时可更加简便16. 已知在平面四边形ABCD中，AB=2，BC=2，ACCD，AC=CD，则四边形ABCD面积的最大值为_【答案】3+10【解析】设AC=x ,则在ABC 中,由余弦定理有x2=2+442cosB=642cosB,所以四边形ABCD面积S=1222sinB+12x2=2sinB+322cosB=10sin(B)+3 ,所以当sin(B)=1 时, 四边形ABCD面积有最大值3+10 .点睛: 本题主要考查解三角形, 属于中档题. 本题思路: 在ABC 中中,已知AB,BC长,想到用余弦定理求出另一边AC的表达式,把 四边形ABCD面积写成ABC,ACD 这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为10sin(B),当sin(B)=1 时, 四边形ABCD面积有最大值3+10 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知各项均不相等的等差数列an满足a1=1，且a1,a2,a5成等比数列（）求an的通项公式；（）若bn=(1)nan+an+1anan+1(nN*)，求数列bn的前n项和Sn【答案】（）an=2n1；（）见解析.【解析】试题分析: (1)设等差数列的公差为d(d0),由a22=a1a5 展开求出公差d ,再写出数列an 的通项公式; (2)将bn 化简,分n 为奇偶,利用裂项相消求出数列bn的前n 项和.试题解析:（）设等差数列an的公差为d，由题意得a22=a1a5，即(1+d)2=1+4d，解得d=2或d=0（舍），所以an=2n-1. （）由an=2n-1，可得bn=(-1)nan+an+1anan+1=(-1)n4n(2n-1)(2n+1)=(-1)n(12n-1+12n+1)，当n为偶数时，Sn=(-1-13)+(13+15)+(-15-17)+(12n-1+12n+1)=-1+12n+1=-2n2n+1.当n为奇数时，n+1为偶数，于是Sn=(-1-13)+(13+15)+(-15-17)+-(12n-1+12n+1)=-1-12n+1=-2n+22n+1.18. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）晋级成功晋级失败合计男16女50合计（）求图中a的值；（）根据已知条件完成下面22列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)（参考公式：k2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d）P(K2k0)0400250150100050025k0078013232072270638415024【答案】（）a=0.005；（）见解析；（）见解析.【解析】试题分析：()由频率分布直方图各小长方形面积总和为1 ，即可求得a=0.005；()由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.25，得到晋级成功的人数为25（人），得到22的列联表，根据公式求解K2的值，即可得到结论；（）由频率分布直方图知晋级失败的频率为0.75，得到故X可视为服从二项分布，利用二项分布的概率公式，求得概率，列出分布列，从而计算期望值试题解析：()由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(2a+0.020+0.030+0.040)10=1，故a=0.005.()由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，故晋级成功的人数为1000.25=25（人），故填表如下晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得K2=100(1641349)2257550502.6132.072，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关（）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.25=0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，故X可视为服从二项分布，即XB(4,34)，P(X=k)=C4k(34)k(14)4k(k=0,1,2,3)， 故P(X=0)=C40(34)0(14)4=1256 ，P(X=1)=C41(34)1(14)3=364 ，P(X=2)=C42(34)2(14)2=54256 ，P(X=3)=C43(34)3(14)1=108256 ，P(X=4)=C44(34)4(14)0=81256 ，故X的分布列为X01234P(X=k)12563645425610825681256E(X)=434=3 或（E(X)=12560+3641+542562+1082563+812564=3.19. 如图所示，四面体ABCD中，已知平面BCD平面ABC,BDDC,BC=6,AB=43,ABC=30.（I）求证：ACBD；（II）若二面角BACD为45，求直线AB与平面ACD所成的角的正弦值.【答案】（）见解析；（）64.【解析】试题分析：（I）要证ACBD，由于有平面BCD 平面ABC，因此只要证得ACBC，就有线面垂直，线线垂直，而ACBC可在ABC中由余弦定理求得AC，再由勾股定理得证；（II）首先由AC平面BCD知BCD为二面角BACD的平面角，又由已知BDCD及（I）可知BD平面ACD，从而BAD是AB与平面ACD所成的角，在相应三角形中可解出试题解析：证明：ABC中，由cosABC=AB2+BC2AC22ABBC=32，解得AC=23，从而AC2+BC2=AB2ACBC平面BCD平面ABC，平面BCD平面ABC=BC， AC平面BCD又BD平面BCD,ACBD（II）由AC平面BCD,CD平面BCD，ACCD又BCACBCD是平面DAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即BCD=45BDCD,ACBD，BD平面ACDBAD是AB与平面ACD所成的角RtACD中，BD=BCsin45=32RtBAD中，sinBAD=BDAB=64点睛：立体几何中求空间角常用空间向量法求解如图建立空间直角坐标系，平面ABC法向量u=(0,0,1)，设平面ACD的法向量v=(1,)，由CA，易知=0，从而v=(1,0,)，cos=uv|u|v|=1+2=22，解得=1,v=(1,0,1)，易知A(0,23,0),B(6,0,0)，则BA=(6,23,0)，设直线AB与平面ACD所成的角为，则sin=|cos|=64，即求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值为6420. 已知过抛物线E:x2=2pyp0焦点F且倾斜角的60直线与抛物线E交于点M,N OMN的面积为4（I）求抛物线E的方程；（II）设P是直线y=2上的一个动点，过P作抛物线E的切线，切点分别为A,B直线AB与直线OP,y轴的交点分别为Q,R点C,D是以R为圆心RQ为半径的圆上任意两点，求CPD最大时点P的坐标【答案】（）x2=4y；（）(22,2).【解析】试题分析：（I）抛物线焦点为F(p2,0)，写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后可得x1+x2,x1x2，其中M(x1,y1),N(x2,y2)，可再求出原点O到直线的距离d，由S=12|MN|d求得p，也可由S=12|x1x2|OF|求得p；（II）首先设出点坐标，设P(t,2),A(x1,x124),B(x2,x224)，利用导数的几何意义得出两切线方程，代入P点坐标，从而得直线AB方程为tx2y+4=0，从而可得R,Q坐标，得QR的长，而要使CPD最大，则PC,PD与圆R相切，这样可求得sinCPD2，最后由基本不等式可得最大值也可用正切函数求最大值试题解析：（I）依题意，F(0,p2)，所以直线的方程为y=3x+p2；由y=3x+p2x2=2py得x223pxp2=0，=(23p)2+4p2=16p20,x1+x2=23p,x1x2=p2所以y1+y2=3(x1+x2)+p=7p,|MN|=y1+y2+p=8p，O到MN的距离d=|p2|(2)2+1=p4,SOMN=12|MN|d=p2=4，p=2，抛物线方程为x2=4y（II）设P(t,2),A(x1,x124),B(x2,x224)，由x2=4y得y=x24,y=x2，则切线PA方程为yx124=x12(xx1)即y=x12xx124=x12xy1，同理，切线PB方程为y=x22xy2，把P代入可得2=x12ty12=x22ty2故直线AB的方程为2=x1ty即tx2y+4=0R(0,2)由tx2y+4=0y=2tx得xQ=4tt2+4yQ=8t2+4，r=RQ=(xQ)2+(yQ2)2=16t2(t2+4)2+(8t2+42)2=2|t|t2+4，当PC,PD与圆R相切时角CPD最大，此时sinCPD2=rPR=2|t|t2+4t2+16=2t2+64t2+2013，等号当t=22时成立当P(22,2)时，所求的角CPD最大综上，当CPD最大时点P的坐标为(22,2)点睛：在解析几何中由于OMN的边MN过定点F，因此其面积可表示为S=12|OF|x1x2|，因此可易求p，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可以帮助解题，第（II）小题中如能发现OPAB则知OP是圆R的切线，因此CPD取最大值时，PC,PD中一条与PO重合，另一条也是圆的切线，从而易得解另解：（I）依题意，F(0,p2)，所以直线的方程为y=3x+p2；由y=3x+p2x2=2py得x223pxp2=0，=(23p)2+4p2=16p20,x1+x2=23p,x1x2=p2|x1x2|=(x1+x2)24x1x2=4p，SOMN=12|OF|x1x2|=p2=4p=2，抛物线方程为x2=4y（II）设P(t,2),A(x1,x124),B(x2,x224)，由x2=4y得y=x24,y=x2，则切线PA方程为yx124=x12(xx1)即y=x12xx124=x12xy1，同理，切线PB方程为y=x22xy2，把P代入可得2=x12ty12=x22ty2故直线AB的方程为2=x1ty即tx2y+4=0R(0,2)由tx2y+4=0y=2tx得xQ=4tt2+4yQ=8t2+4，r=RQ=(xQ)2+(yQ2)2=16t2(t2+4)2+(8t2+42)2=2|t|t2+4，注意到OPAB|PQ|=|t2+8|t2+4，tanCPD2=|RQ|PQ|=|2tt2+8|2t|22t|=22当且仅当t2+8即t=22时等号成立21. 设函数f(x)=xln(x1)a(x2)（）若a=2017，求曲线f(x)在x=2处的切线方程；（）若当x2时，f(x)0，求的取值范围【答案】（）2015x+y4030=0；（）(,2.【解析】试题分析: (1)由已知条件求出f(2),由点斜式求出切线方程; (2)构造函数g(x)=ln(x1)a(x2)x(x2) ,由g(2)=0 ,通过转化为证明g(x) 在2，+) 上为增函数,求出a的范围.试题解析:（）当a=2017时，f(x)=xln(x-1)-2017(x-2)，则f(x)=ln(x-1)+xx-1-2017，所