2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4.1充分条件与必要条件学案新人教A版.docx

14.1充分条件与必要条件1理解充分、必要条件的概念2会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件1命题及相关概念2充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式(2)不能将“若p，则q”与“pq”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“pq”1“对角线相等的平行四边形是矩形”(1)这个命题是真命题吗？(2)将命题改写为“若p，则q”的形式(3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件答案(1)是真命题(2)若平行四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形(3)充分条件2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“集合a，b，c有3个子集”是命题()(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的()(3)若q是p的必要条件，则由p推出的结论q是不唯一的()(4)数学中每一条定理都给出了相应结论成立的一个充分条件()答案(1)(2)(3)(4)题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形解(1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件(1)对充分、必要条件的理解对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的“有之必成立，无之未必不成立”ii)充分条件不是唯一的，如x2，x3都是x0的充分条件对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可“有之未必成立，无之必不成立”ii)必要条件不是唯一的，如x0，x5等都是x9的必要条件(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理针对训练1将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分、必要条件的语言表述：(1)对顶角相等；(2)在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同解(1)若两个角是对顶角，则两个角相等，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件(2)在平面直角坐标系中，若两点关于y轴对称，则这两个点的纵坐标相同，所以在平面直角坐标系中，“两点关于y轴对称”是“这两个点纵坐标相同”的充分条件；“两个点的纵坐标相同”是“这两点关于y轴对称”的必要条件.题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x1，q：x21；(2)p：(a2)(a3)0，q：a3；(3)已知：yax2bxc(a0)，p：b24ac0，q：函数图象与x轴有交点思路导引判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假解(1)由x1可以推出x21，因此p是q的充分条件；由x21，得x1，不一定有x1.因此，p不是q的必要条件(2)由(a2)(a3)0可以推出a2或a3，不一定有a3，因此p不是q的充分条件；由a3可以得出(a2)(a3)0.因此，p是q的必要条件(3)二次函数yax2bxc，当0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则0，不一定是0，因此p不是q的必要条件充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断pq和qp是否成立，最后得出结论(2)命题判断法：如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即pq，只是说法不同而已针对训练2判断下列说法中，p是q的充分条件的是_(1)p：“x1”，q：“x22x10”；(2)设a，b是实数，p：“ab0”，q：“ab0”；(3)已知a，b为正实数，p：ab1，q：a2b20.解析(1)当x1时，x22x10，故pq，所以p是q的充分条件(2)由ab0不一定能推出ab0，故p不是q的充分条件(3)因为ab1a2b20，所以p是q的充分条件答案(1)(3)3在下列各题中，q是p的必要条件的是_(1)p：x20；q：(x2)(x3)0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m2；q：方程x2xm0无实根解析(1)x20(x2)(x3)0，q是p的必要条件(2)两个三角形相似推不出两个三角形全等，q不是p的必要条件(3)方程x2xm0无实根，b24ac141(m)14m0，解得m.m2m，q是p的必要条件答案(1)(3)题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】(1)已知p：关于x的不等式x，q：0x3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围(2)已知集合Ay|yx23x1，xR，Bx|x2m0；命题p：xA，命题q：xB，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围思路导引p是q的充分条件转化为对应集合A集合B，q是p的必要条件转化为集合A集合B.解(1)记A，Bx|0x3，若p是q的充分条件，则AB.注意到Bx|0x3，分两种情况讨论：若A，即，解得m0，此时AB，符合题意；若A，即0，要使AB，应有解得0m3.综上可得，实数m的取值范围是m|m3(2)由已知可得A，Bx|x2m因为q是p的必要条件，所以pq，所以AB，所以2m，所以m，即m的取值范围是.变式本例(1)中若将“若p是q的充分条件”改为“p是q的必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围解记A，Bx|0x2的一个必要条件是()Ax1Bx3Dx2x1，所以选A.答案A3下列命题中，是真命题的是()A“x20”是“x0”的充分条件B“xy0”是“x0”的必要条件C“|a|b|”是“ab”的充分条件D“|x|1”是“x2不小于1”的必要条件解析A中，x20x0或x0，而x0x20，故x20是x0的必要条件B中，xy0x0或y0，不能推出x0，而x0xy0，故xy0是x0的必要条件C中，|a|b|ab或ab，不能推出ab，而ab|a|b|，故|a|b|是ab的必要条件D中，|x|1x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|1，故|x|1是x2不小于1的充分条件，故本题应选B.答案B4若集合A1，m2，B2,4，则“m2”是“AB4”的_条件答案不必要(填必要、不必要)5(1)若“x2或x1”的充分条件，求m的取值范围(2)已知Mx|a1xa1，Nx|3x2或x1，Bx|xm由题意可得BA，即x|x2或xbc”是“ab”的充分条件B“acbc”是“ab”的必要条件C“”是“ab”的必要条件D“a2b2”是“a1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A充分条件B必要条件C既是充分条件也是必要条件D既不是充分条件也不是必要条件解析当x1，y1时，xy2一定成立，即pq；当xy2时，可以x1，y4，此时q推不出p.故p是q的充分条件答案A二、填空题6条件p：1xa，若q是p的必要条件，则a的取值范围是_解析由题意可得条件p：x1，若q是p的必要条件，则pq，也就是说p对应集合是q对应集合的子集，所以a1.答案a17设x，yR，那么“xy0”是“1”的_条件(填“充分”或“必要”)解析xy01，而由1推不出xy0，如：x5，y4，满足1，但54，即xyy0.故xy0是1的充分条件答案充分8记Ax|3xa若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_解析由题意可得AB.故a3.答案a3三、解答题9把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q.(1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧解(1)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，这个命题是真命题故由该命题的条件可以推出该命题的结论(2)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，这个命题是真命题故由该命题的条件可以推出该命题的结论10下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x1或x2，q：x1；(4)p：m1，q：x2xm0无实根解(1)ab0推不出a2b20，而a2b20ab0，p是q的必要条件(2)四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形四边形的对角线相等，p是q的必要条件(3)x1或x2x1，x1x1或x2，p既是q的充分条件又是q的必要条件(4)若方程x2xm0无实根，则14m0，即m.m1m，而m推不出m1，p是q的充分条件综合运用11可以作为关于x的一元二次方程x2xm0有实数解的一个必要条件的是()AmBmCmDm解析由题意可得b24ac141m0，解得m.四个选项中，只有m0Ca1Da1解析因为一元二次方程ax22x10(a0)有一正根和一负根所以即解得a0.选项中只有a1a0中分别选出适合下列条件的，用序号填空(1)a，b都为0的必要条件是_；(2)使a，b都不为0的充分条件是_解析ab0即为a0或b0，即a，b中至少有一个为0；ab0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；由ab0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出，能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是，使a，b都不为0的充分条件是.答案(1)(2)14已知p：3xm0，q：x3，若p是q的一个充