2020届牡丹江市爱民区第一高级中学高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2020届黑龙江省牡丹江市爱民区第一高级中学高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】化简复数，再判断对应点所在象限.【详解】所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算，复数在复平面上对应的点的坐标,属于基础题.2己知命题p：，则为（ ）ABCD【答案】C【解析】先改存在量词为全称量词,再否定结论.【详解】:.故选C.【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题.解题方法:先改量词,再否定结论.3已知双曲线的离心率是，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据双曲线的离心率得出关于实数的方程，解出即可.【详解】由题意可知，该双曲线的离心率为，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线的离心率求参数的值，考查计算能力，属于基础题.4已知向量与夹角为，且，则ABCD【答案】C【解析】对两边平方，结合数量积的定义与法则即可得到结果.【详解】向量与夹角为，且，即，所以，故选：C【点睛】本题考查利用数量积求模，考查数量积定义与运算法则，考查运算能力.5已知，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由诱导公式结合二倍角公式求解即可【详解】= 故选：C【点睛】本题考查诱导公式及二倍角公式，准确计算是关键，是基础题6定义在R上的函数为偶函數，则ABCD【答案】C【解析】由偶函数得到，明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.【详解】为偶函数，即，且其在上单调递减，又，故选：C【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.7张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ）A12B24C36D48【答案】B【解析】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法由分步乘法计数原理可得所有的排法为种故选B点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘”8若函数的图像向左平移（）个单位，所得的图像关于轴对称，则当最小时，（ ）ABCD【答案】B【解析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于轴对称列式,再求最小值.【详解】将函数的图像向左平移（）个单位后,得到函数,因为其图像关于轴对称,所以,即,因为,所以时,取得最小值,此时.故选B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题.9第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A60B90C120D150【答案】D【解析】根据题意，分2步进行分析：、分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，分2步进行分析：、将5项工作分成3组，若分成1、1、3的三组，有10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+1525种分组方法；、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A336种情况，则有256150种不同的分组方法；故选：D【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意分组时要进行分类讨论10已知两点，以及圆：，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可知：以AB为直径的圆与圆有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出的范围【详解】，点在以，两点为直径的圆上，该圆方程为：，又点在圆上，两圆有公共点。两圆的圆心距解得：故选：D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题11如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（ ）ABCD【答案】A【解析】将侧面和沿边展开成平面图形为菱形,可得到的长即为的最小值,设,在中,利用勾股定理可得,则棱长为,进而可求得正四面体的外接球的表面积【详解】将侧面和沿边展开成平面图形,如图所示,菱形,在菱形中,连接,交于点,则的长即为的最小值,即,因为正四面体,所以,所以,因为是棱的中点,所以，所以,设,则,所以,则,所以,则正四面体的棱长为,所以正四面体的外接球半径为,所以该正四面体外接球的表面积为,故选：A【点睛】本题考查线段和最短问题,考查外接球问题,考查运算能力12椭圆上有一点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点在线段的延长线上，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】要求出离心率的取值范围，得列出不等关系，解出e的取值范围；首先满足QF1QP，点Q在椭圆的内部，故点Q轨迹在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部，圆半径c椭圆短半轴b，由a2c2b2，可解得e的一个范围；其次由sinF1QF2，可求得cosF1QF2在PF1F2中，而|F1F2|2c，|PF1|+|PF2|2a是定值，由基本不等式可得PF1|PF2|；由余弦定理得4c2|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cosF1QF2，结合不等关系即可解出e的取值范围【详解】解：QF1QP，点Q在以F1F2为直径，原点为圆心的圆上，点Q在椭圆的内部，以F1F2为直径的圆在椭圆内，cb；c2a2c2，故0esinF1PQ，cosF1PQ；设|PF1|m，则|PF2|n，而|F1F2|2c，|PF1|+|PF2|m+n2a，在PF1F2中，由余弦定理得4c24c2（m+n）22mn2mn；即4c24a2mn；mn；由基本不等式得：mna2，当且仅当mn时取等号；由题意知：QF1QP，mn，mna2，a2a226c2；故，e综上可得：e故选：D【点睛】本题考查了椭圆的性质、圆的性质，余弦定理、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题13设等差数列的前项和为，若，则公差_【答案】【解析】分析：利用等差数列的通项公式与求和公式，即可求解.详解：在等差数列中，由，则，所以.点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式的应用，其中数据等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题.14已知双曲线的焦距为，为上一点，则的渐近线方程为_.【答案】【解析】根据题意可得出该双曲线的两个焦点的坐标，利用定义可得出的值，结合双曲线的焦距可求出的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为，由双曲线的定义可得，因此，双曲线的渐近线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.15如下图中、六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有种颜色可供选择，则共有_种不同的染色方案.【答案】【解析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给出的图形中、六个区域进行染色，最少需要种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以种颜色全部用上，即、三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该类染色方法的种数，最后利用分类加法求和即可.【详解】要完成给出的图形中、六个区域进行染色，染色方法分为两类，第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，即从四种颜色中取三种颜色，有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；第二类是用四种颜色染色，即、三组中有一组不同色，则有种方案（不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区域有种染法，剩余两种染在不同色区域有种染法，共有种染法.由分类加法原理可得总的染色方法种数为（种）.故答案为：.【点睛】本题考查排列、组合以及简单的计数问题，解题的关键在于合理分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.16已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，、分别为、在上的射影，为的中点，给出下列命题：（1）；（2）；（3）；（4）与的交点的轴上；（5）与交于原点.其中真命题的序号为_.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】（1）由、在抛物线上，根据抛物线的定义可知，从而有相等的角，由此可判断；（2）取的中点，利用中位线即抛物线的定义可得，从而可得；（3）由（2）知，平分，从而可得，根据，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；（4）取与轴的交点，可得，可得出的中点在轴上，从而得出结论；（5）设直线的方程为，设点、，证明出、三点共线，同理得出、三点共线，由此可得出结论.【详解】（1）由于、在抛物线上，且、分别为、在准线上的射影，根据抛物线的定义可知，则，则，即，则，即，（1）正确；（2）取的中点，则，即，（2）正确；（3）由（2）知，平分，由于，（3）正确；（4）取与轴的交点，则，轴，可知，即点为的中点，由（3）知，平分，过点，所以，与的交点的轴上，（4）正确；（5）设直线的方程为，设点、，则点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，直线的斜率为，直线的斜率为，则、三点共线，同理得出、三点共线，所以，与交于原点，（5）正确.综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）.故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力，属于中等题.三、解答题17在直三棱柱中，（1）求异面直线与所成角的正切值；（2）求直线与平面所成角的余弦值【答案】（1）；（2）.【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系.（1）利用空间向量法求出与所成角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案；（2）利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.【详解】在直三棱柱中，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点、.（1）设异面直线与所成角为，即，则，因此，异面直线与所成角的正切值为；（2）设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，所以，平面的一个法向量为，则.因此，直线与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查异面直线所成的角和直线与平面所成的角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解，考查计算能力，属于中等题.18人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各人进行了调查，调查数据如表所示：幸福感指数男居民人数女居民人数（1）估算该地区居民幸福感指数的平均值；（2）若居民幸福感指数不小于，则认为其幸福为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取对夫妻进行调查，用表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求的期望（以样本的频率作为总体的概率）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将每组的中点值乘以相应的频率，相加可得出结果；（2）由题意可得出，然后利用二项分布的期望公式可计算出的值.【详解】（1）所求的平均值为； （2）男居民幸福的概率为，女居民幸福的概率为，故一对夫妻都幸福的概率为，因此的可能取值为、，且，因此，.【点睛】本题考查样本平均数的计算，同时也考查了二项分布数学期望的计算，解题的关键就是要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.19已知数列的前项和为，.（1）证明：数列为等比数列；（2）已知曲线若为椭圆，求的值；（3）若，求数列的前项和【答案】（1）见解析；（2）或；（3）.【解析】（1）利用的递推公式证明出为非零常数，即可得出结论；（2）利用（1）中的结论求出，由与之间的关系求出，结合题意得出，可求出的值；（3）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.【详解】（1）对任意的，则且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）可得，.当时，也适合上式，所以，.由于曲线是椭圆，则，即，解得或；（3），得，因此，.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了利用椭圆方程求参数以及错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20已知椭圆方程为（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点，由该点在椭圆上得出，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出的值；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线的斜率不存在时，可求得，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，根据直线与圆相切，得出，并将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将表示为的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，设，由，同理，可得，结合，得，故；（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，由对称性，不妨设，此时，故若直线的斜率存在，设其方程为，由已知可得，则，设、，将直线与椭圆方程联立，得，由韦达定理得，结合及，可知将根与系数的关系代入整理得：，结合，得设，则的取值范围是【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.21已知函数，其中e为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性；（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【解析】（1）由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解；（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解【详解】（1）,当时,函数在内单调递增；当时,令,解得或,当或时,则单调递增,当时,则单调递减,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为（2）（）当时,所以在上无零点；（）当时,若,即,则是的一个零点；若,即,则不是的零点（）当时,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以当时,在上单调递增。又，所以（）当时,在上无零点；（）当时,又,所以此时在上恰有一个零点； 当时,令,得,由,得；由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,所以此时在上恰有一个零点,综上,【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想22在平面直角坐标系中，曲线（为参数），将曲线上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线，过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点（1）求曲线的参数方程和的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程【答案】（1）参数方程为（为参数