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排洪渠修建计划1 排洪渠修建计划【摘要】本文研究的是关于如何修建某乡村的的防汛水利工程使其花费最少的问题。 在问题一中，首先可对天然河流在xx至xx年的泄洪量通过拟合的方法进行预测，得到其大致的发展趋势，经验证，得到的拟合效果较为显著。 该乡某村原有四条天然河流，同时有9条可供开挖的排洪沟路线和需建设的新泄洪河道，要求在每年可投资的费用内设计一个最优的修建方案，使得该村从xx至xx年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量 150、 160、 170、 180、190万立方米/小时的泄洪能力，可建立一个非线性规划的模型，然后进行求解。 1、问题重述问题1该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。 在表1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。 水利专家经过勘察，在该村区域内规划了9条可供开挖排洪沟的路线。 由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同，详见表2，而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年8%左右的速率减少。 同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。 修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元的整数倍。 要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。 乡政府从xx年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从xx至xx年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量 150、 160、 170、 180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从xx年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。 表1现有四条天然河道在近几年的可泄洪量（万立方米/小时）年份编号1号32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号21.515.911.88.73号27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号46.232.626.723.020.018.917.516.3表2开挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）编号1234开挖费用5754泄洪量25363215xxxxxxxxxxxxxxxxxx6.54.83.52.62.056316528752283129842问题2该乡共有10个村,分别标记为，下图给出了它们大致的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。 其中村距离主干河流最近，且海拔高度最低。 乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村后，再经村引出到主干河流。 要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。 表3各村之间修建新泄洪河道的距离（单位公里）234567891012345678985912141216172291517811181422791171212173171071518810615159148168611111110请你们根据表3中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。 （说明从村A村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。 ）问题3新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。 试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？问题4你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？ 2、问题分析2. 1、问题一根据其给出的该乡的某个村区域内原有四条天然河流近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字，所以需要先预测该四条天然河流在xx年至xx年的泄流量。 显然这四条河流无法满足该乡的在防汛工程上的要求，所以需要建设新的水利设施。 然而在地方政府每年所投资的有限经费无法在一年内完全建设所有的防汛水利设施，由于新泄洪河道经费是138万元，需要三年才能建成，在未完工之前不投入使用，所以第一年前就必须开始开挖排水沟以解决防汛要求。 假设排洪沟开挖工期较短，建成后当年便可投入使用，注意到开挖后的排水沟的泄洪量会以每年8%左右的速率减少。 在投资的经费限定下，每年只能适当地开挖若干条排水沟和修建一定长度的新泄洪河道。 需要设定好一个合理的修建方案使其满足防汛抗洪的要求和三年内修建总费用最少，并且在第 四、五年内也满足相应的要求。 2. 2、问题二已知该乡十个村庄所在地区的海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势，所以水流只能从海拔高的地区流向较低的地区，假设在同一海拔高度的地区之间水流基本不流动，那么处于同一海拔高度的地区之间不修建泄洪河道。 根据修建新泄洪河道的费用公式LQP51.066.0?可知两泄洪量为100万立方米/小时的泄洪河道比相同能力、相同长度泄洪能力为200万立方米/小时的泄洪河道投资大，因此假设每个村庄只能开挖一条泄洪河道，并且各条泄洪河道之间不能相交。 题中已各村间的修建新泄洪河道的距离，在这些条件下求出修建河道的最小费用。 2. 3、问题三2. 4、问题四 3、符号说明及基本假设3. 1、符号说明1,2,9i?1,2,3,4,5j?i m表示第i条排洪沟的泄洪量ic表示第i条排洪沟的开挖费用?f x表示三年来用于修建新泄洪河道的总费用jt表示第j年该地区四条天然河流的总泄流量j V表示第j年用于修建新泄洪河道的费用jy表示第j年用于开挖排洪沟的费用jL表示第j年修建新泄洪河道的长度ijx表示第i条排洪沟第j年修建jw表示每年用于泄洪河道的总费用?jf x表示每年的总泄流量Q表示修建新泄洪河道的泄流量3. 2、基本假设 （1）假设修建的泄洪河道每一年的泄洪量保持不变； （2）假设排洪沟开挖工期较短，即年内汛期来临前便可投入运营； （3）不考虑银行利息、物价、劳动工资的变化，则排洪沟和新泄洪河道的开挖费用不变； （4）假设每条排洪沟开挖的地方是固定的，且每条排洪沟不能重复开挖； （5）新泄洪河道单位工程量造价恒定，修建长度与用于修建河道的资金成正比； （6）假设洪水严格按照从海拔高度高的地区流向地处，例如和、和之间的村庄不修建泄洪河道； （7）假设新修建的泄洪河道相互之间不能相交； （8）假设任意村修建的泄洪河道只能流向下游一个村庄，即不能分支； （9）假设一低海拔泄洪河道由n条高海拔泄洪河道流入，则此河道的泄洪量需增大到前n条河流的流量总和加上它本身的流量，不计水流的损失； （10）假设某村通过泄洪河道与n个村庄相连，那么该维护人员去其中任意一个村庄的概率均相等，则概率为n/1。 4、模型的建立与求解 4、1题一由于数据中只给出现有四条天然河流近几年的可泄洪量，所以需要先对天然河流在xx至xx年的泄洪量进行预测，这里我们可以用到多项式拟合的方法进行拟合。 123456789222426283032341号天然河道可泄洪量变化曲线ax?bY?112345678905101520250246810121405101520252号天然河道可泄洪量变化曲线bxaeY?2123456789101214161820222426283号天然河道可泄洪量变化曲线ax?bY?3234567891020304050246810121410203040504号天然河道可泄洪量变化曲线axbeY?4每条河流泄洪量五年的预测结果如表4模型的建立编号年份xxxxxxxxxx121.447220.245619.043917.842216.640621.45241.08110.80630.60300.452539.13067.04564.96062.87560.7906414.365113.041011.839015.264115.1854总泄洪量47.912043.952440.198136.584933.0691本题可归结为非线性规划问题求解，根据题意列出目标函数及约束条件便能解出此题下。 1.由于该村对九条可挖排洪沟进行了规划，每条排洪沟开挖的地方是固定的，且每条排洪沟只能开挖一次。 1123,i12,8ijx j.?表示第条排洪沟第年修建。 j ijxi2.对于新建的泄洪河道有20,100?LQ因而新建泄洪河道的总费用为138.2210xx066.066.051.051.0?LQP（万元）3.由于每年地方政府提供的总资金是一定的，因此开挖的泄洪河道及排洪沟是有限的第j年开挖排洪沟的资金jy；第j年用于修建泄洪河道的资金j V；第j年的允许总费用60;ijixc?+j V?60;j V=0.510.66JQL?;jy=91ij ixci?4.每年的泄洪量9?第一年111150iiixmt?第一年的泄洪最少量第二年99122110.92160iiiiiixmxmt?；、第三年999212331110.920.92170iiiiiiiiixmxmxmt?；第四年9993212341110.920.920.92100180iiiiiiiiixmxmxmt?；第五年99943212351110.920.920.92100190iiiiiiiiixmxmxmt?由此可得如下目标函数933111minijijijjxcV?约束条件ikiki?1kjk?ijkjnQQ1qx?4819.0131?jijx;91ij ixci?+j V?60j=1,2,3;0L=1L+2L+3L模型的求解通过lingo软件编程便可求解，程序如附表，得出结果每年新修建泄洪河道的长度如表5每年开挖的排洪沟如表6注0表示没有开挖，1表示已经开挖。 每年该乡实际泄洪量及费用如表7xxxx年份xxxxxx要求泄洪量150160170180190实际泄洪量153.912185.4724170.3965256.3674243.2690排洪沟花费（万元）208000泄洪河道花费（万元）40524700政府提供（万元）60604700结果分析 1、xx年新修建的泄洪河道的长度为5.787834公里，花费为35万元；开年份xxxxxx长度（公里）5.7878347.5241846.687982年份编号xx123456789010001001xx001000010xx000000000挖的排洪沟编号有 1、 2、 6、9四条，费用是25万元。 2、xx年新修建的泄洪河道的长度为7.524184公里，花费是52万元开挖的排洪沟编号有 3、8两条，费用是8万元。 3、xx年新修建的泄洪河道的长度为6.687982公里，花费是47万元；没有开挖排洪沟。 4、综上三年内在解决防汛水利设施建设问题的总共花费是167万元，其中在开挖排洪沟上的费用总共是33万元；在修建泄洪河道的总费用134万元。 4、2题二模型的建立假设 一、网络所以河道相加最短的长度即费用最小，即将其转化为最短路问题求解。 对于该问，知村海拔最低，那么其他村庄的水流全要流进村，同时在修建时尽量使所有的新泄洪河道的相加总的长度最短，则所需费用最小，那么这便可以归为最小路程问题，不过，此时并不是单一的求每个村到村的距离，而是要考虑到整个网络河道的最短路程。 考虑采用Dijkstra算法解决。 可建立如下表格表示各村之间是否修建新泄洪河道。 i-jinf67108inf inf31510inf inf inf1810inf inf18inf11inf inf inf infInfinf inf inf inf infinf inf inf inf infinf inf inf inf infinf inf inf inf infinf inf inf inf inf注:i-j表示水流从i列村流至j行村的水流流向。 Inf表示不存在此水流流向。 1216111814912151787915151717221022167126119inf512911inf inf17814inf17inf14inf inf inf inf inf8inf inf inf inf inf模型的求解运用matlab软件，将上表数据写成矩阵的形式采用Dijkstra算法便解出结果如下l=Inf6310875688z=1121136572程序见附表。 画出实际流向图如下经分析发现此种方案虽然使得河道网络总路程最短，但并非费用最小，观察计算发现若调整将2村直接与3村相连费用会更小；原来1村与2村建设的新泄洪河道费用P1=5*0.66*(2000.51)+8*0.66*(1000.51)=104.4968；调整后的费用P2=5*0.66*(1000.51)+9*0.66*(1000.51)=96.7547；所以最终修建方案如下图编号村村村村村泄洪量xx00300400600费用/万元49.208455.288484.71742.045103.407编号村村村村村泄洪量100xx000100100费用/万元55.28878.733041.46676.02287695412310调整后的费用表如下最终的总费用p=571万元 4、3题三模型的建立 4、4题四解决方法从第二问的建设网络中，我们发现编号村村村村村泄洪量xx00300400600费用/万元34.555262.199484.71742.045103.407编号村村村村村泄洪量100xx000100100费用/万元55.28878.733041.46676.022附表问题一程序model:sets:row/1.9/:c,m;col/1.3/:l;link(row,col):x;endsets data:t1=47.9120;t2=43.9524;t3=40.1981;t4=36.5849;t5=33.0691;Q=100;L0=20;m=253632153128221242;c=575465538;enddata min=sum(link(i,j):c(i)*x(i,j)+0.66*Q0.51*L0;sum(col(j):l(j)=20;for(row(i):sum(col(j):x(i,j)=1);0.66*Q0.51*l (1)+sum(row(i):c(i)*x(i,1)=60;w1=0.66*Q0.51*l (1)+sum(row(i):c(i)*x(i,1);0.66*Q0.51*l (2)+sum(row(i):c(i)*x(i,2)=60;w2=0.66*Q0.51*l (2)+sum(row(i):c(i)*x(i,2);0.66*Q0.51*l (3)+sum(row(i):c(i)*x(i,3)=150;f0=t1+sum(row(i):m(i)*x(i,1);t2+sum(row(i):m(i)*x(i,1)*(1-0.08)+sum(row(i):m(i)*x(i,2)=160;f1=t2+sum(row(i):m(i)*x(i,1)*(1-0.08)+sum(row(i):m(i)*x(i,2);t3+sum(row(i):m(i)*x(i,1)*(1-0.08)2)+sum(row(i):m(i)*x(i,2)*(1-0.08)+sum(row(i):m(i)*x(i,3)=170;f2=t3+sum(row(i):m(i)*x(i,1)*(1-0.08)2)+sum(row(i):m(i)*x(i,2)*(1-0.08)+sum(row(i):m(i)*x(i,3);t4+Q+(f2-t3)*(1-0.08)=180;f3=t4+Q+(f2-t3)*(1-0.08);t5+Q+(f3-t4)*(1-0.08)=190;f4=t5+Q+(f3-t4-Q)*(1-0.08);for(link(i,j):bin(x(i,j);bnd(0,l (1),20);bnd(0,l (2),20);bnd(0,l (3),20);V1=0.66*Q0.51*l (1);V2=0.66*Q0.51*l (2);V3=0.66*Q0.51*l (3);y1=sum(row(i):c(i)*x(i,1);y2=sum(row(i):c(i)*x(i,2);y3=sum(row(i):c(i)*x(i,3);end问题二程序clear allclc w=inf671081216111814