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函数的单调性 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯 对人类的记忆牢固程度进行了有关研究 他经过测试 得到了以下一些数据 新课引入 广州市年生产总值统计表 年份 生产总值 亿元 广州市日平均出生人数统计表 年份 人数 人 则函数f x 在给定区间上为增函数 如何用x与f x 来描述上升的图象 如何用x与f x 来描述下降的图象 则函数f x 在给定区间上为减函数 函数的单调性 如果函数f x 在某个区间内是增函数或减函数那么就说函数f x 在这一区间具有单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 增函数所在的区间称单调增区间 减函数所在的区间称单调减区间 例1下图是定义在 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一单调区间上 y f x 是增函数还是减函数 单调增区间为 2 1 3 5 单调减区间为 5 2 1 3 试一试 判断函数f x x2 2x的单调区间和单调性 单调增区间为 单调减区间为 1 1 想一想 如何判断函数f x x2 2x 的单调区间和单调性 图象分析 所以f x 在 上是增函数 例2 证明函数f x 2x 1在区间 上是增函数 证明 取值 定号 结论 作差 变形 定义证明 例2 证明函数f x 2x 1在区间 上是增函数 x1 x2 x1 x2 0 1 取值 一 用定义证明函数单调性的步骤 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 x1 x2 2 作差变形 即作差f x1 f x2 或f x2 f x1 并通过因式分解 配方 有理化等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 定号 确定差f x1 f x2 或f x2 f x1 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 4 判断 根据定义作出结论 例3 证明函数f x 在区间 4 上是增函数 课堂练习 2 证明 函数f x x3 1在 0 上是增函数 1 证明 函数在 0 2 上是减函数 探究题 变形1 判断函数f x x3 1在 0 上的单调性 变形2 判断函数f x x3 1在r上的单调性 接轨高考 已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求函数f x 的最大值与最小值 最大值 x 5时 y 37 最小值 x 1时 y 1 接轨高考 已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求函数f x 的最大值与最小值 2 求实数a的取值范围 使得y f x 在区间 5 5 上是单调函数 x y 5 5 o a 5或a 5 课堂小
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