电大【高等数学基础】复习小抄(有试题分析)

1 一 单项选择题一 单项选择题 1 1 下列各函数对中 C 中的两个函数相等 C 3 ln xxf xxgln3 1 设函数的定义域为 则函数的图形关于 C 对称 C 轴 xf xfxf y 设函数的定义域为 则函数的图形关于 D 对称 D 坐标原点 xf xfxf 函数的图形关于 A 对称 A 坐标原点 2 ee xx y 1 下列函数中为奇函数是 B B xxycos 下列函数中为奇函数是 A A xxy 3 下列函数中为偶函数的是 D D 1ln 2 xy 2 1 下列极限存计算不正确的是 D D 0 1 sinlim x x x 2 2 当时 变量 C 是无穷小量 C 0 x x x 1 sin 当时 变量 C 是无穷小量 C 0 x1e x 当时 变量 D 是无穷小量 D 0 x 1ln x 下列变量中 是无穷小量的为 B B ln10 xx 3 1 设在点 x 1 处可导 则 D D xf h fhf h 1 21 lim 0 1 2 f 设在可导 则 D D xf 0 x h xfhxf h 2 lim 00 0 2 0 x f 设在可导 则 D D xf 0 x h xfhxf h 2 2 lim 00 0 0 x f 设 则 A A x xfe x fxf x 1 1 lim 0 e 3 2 下列等式不成立的是 D D 1 ln x dxdx 下列等式中正确的是 B B 2 1 x dx x d 4 1 函数的单调增加区间是 D D 14 2 xxxf 2 函数在区间内满足 A A 先单调下降再单调上升 54 2 xxy 6 6 函数在区间 5 5 内满足 A A 先单调下降再单调上升 6 2 xxy 函数在区间内满足 D D 单调上升62 2 xxy 5 2 5 1 若的一个原函数是 则 D D xf x 1 xf 3 2 x 若是 的一个原函数 则下列等式成立的是 A A xF xf aFxFdxxf x a 5 2 若 则 B B xxfcos xxfd cx cos 下列等式成立的是 D D d d d xfxxf x B B xxfx x d d d 32 32 xfx D D xxxf x d d d 2 xxxfd 2 3 若 则 B B cxFxxf d xxf x d 1 cxF 2 补充 无穷积分收敛的是 函数的图形关于 xefe xx d ceF x dx x 1 2 1 xx xf 1010 2 y 轴 对称 二 填空题二 填空题 函数的定义域是 3 1ln 3 9 2 x x x xf 函数的定义域是 2 3 3 4 x x x y 4 2ln 函数的定义域是 5 2 x xxf 2 1 5ln 若函数 则 1 0 2 0 1 2 x xx xf x 0 f 2 若函数 在处连续 则 e 0 0 1 1 xkx xx xf x 0 x k 函数在处连续 则 2 0 0 2sin xk x x x xf0 x k 函数的间断点是 x 0 0 sin 0 1 xx xx y 函数的间断点是 x 3 3 32 2 x xx y 函数的间断点是 x 0 x e y 1 1 3 曲线在处的切线斜率是 1 2 1 xxf 2 1 曲线在处的切线斜率是 1 4 2 xxf 2 2 曲线在 0 2 处的切线斜率是 1 1 x exf 曲线在处的切线斜率是 3 1 3 xxf 2 1 3 2 曲线在处的切线方程是 y 1 切线斜率是 0 xxfsin 1 2 曲线 y sinx 在点 0 0 处的切线方程为 y x 切线斜率是 1 4 函数的单调减少区间是 0 1ln 2 xy 函数的单调增加区间是 0 2 e x xf 函数的单调减少区间是 1 1 1 2 xy 函数的单调增加区间是 0 1 2 xxf 函数的单调减少区间是 0 2 x ey 5 1 x x ded 2 dxe x2 xx dx d dsin 22 sin x tan x C xx d tan 若 则 9 sin 3x cxxxf3sind xf 5 2 3 0 0 0 3 3 5 d 2 1 sinxx 1 1 2 3 1 dx x x e dxx dx d 1 1ln 下列积分计算正确的是 B A B C D 0d 1 1 xee xx 0d 1 1 xee xx 0d 1 1 2 xx0d 1 1 xx 三 计算题三 计算题 一 计算极限 一 计算极限 1 1 小题 小题 1111 分 分 3 1 利用极限的四则运算法则 主要是因式分解 消去零因子 2 利用连续函数性质 有定义 则极限 0 xf lim 0 0 xfxf xx 类型类型 1 1 利用重要极限 计算1 sin lim 0 x x x k x kx x sin lim 0 k x kx x tan lim 0 1 1 求 解 x x x 5sin 6sin lim 0 5 6 5sin 6sin lim 5sin 6sin lim 00 x x x x x x xx 1 2 求 解 0 tan lim 3 x x x x x x 3 tan lim 0 3 1 1 3 1tan lim 3 1 0 x x x 1 3 求 解 x x x 3tan lim 0 x x x 3tan lim 0 331 3 3 3tan lim 0 x x x 类型类型 2 2 因式分解并利用重要极限 化简计算 1 sin lim ax ax ax 1 sin lim ax ax ax 2 1 求 解 1sin 1 lim 2 1 x x x 1sin 1 lim 2 1 x x x 2 11 1 1 1sin 1 lim 1 x x x x 2 2 解 2 1 sin1 lim 1 x x x 2 1 11 1 1 1 1 1 1sin lim 1 1sin lim 1 2 1 xx x x x xx 2 3 解 3sin 34 lim 2 3 x xx x 2 1 lim 3sin 1 3 lim 3sin 34 lim 33 2 3 x x xx x xx xxx 类型类型 3 3 因式分解并消去零因子 再计算极限 3 1 解 45 86 lim 2 2 4 xx xx x 45 86 lim 2 2 4 xx xx x 1 4 2 4 lim 4 xx xx x 3 2 1 2 lim 4 x x x 3 2 2 2 3 6 lim 12 x xx xx 2 2 333 32625 limlimlim 123447 xxx xxxxx xxxxx 3 3 解 4 23 lim 2 2 2 x xx x 4 1 2 1 lim 2 2 1 2 lim 4 23 lim 22 2 2 2 x x xx xx x xx xxx 其他 0 sin 2 1 lim sin 11 lim 2 0 2 0 x x x x xx 2 2 1 sin lim 11 sin lim 00 x x x xx 54 56 lim 2 2 xx xx x 1lim 2 2 x x x 543 62 lim 2 2 xx xx x 3 2 3 2 lim 2 2 x x x 0807 考题 计算 解 x x x 4sin 8tan lim 0 x x x 4sin 8tan lim 0 2 4 8 4sin 8tan lim 0 x x x x x 0801 考题 计算 解 x x x 2 sin lim 0 x x x 2 sin lim 0 2 1sin lim 2 1 0 x x x 0707 考题 1sin 32 lim 2 1 x xx x 4 31 1 1sin 3 1 lim 1 x xx x 二 二 求函数的导数和微分 求函数的导数和微分 1 1 小题 小题 1111 分 分 1 利用导数的四则运算法则 vuvu vuvuuv 4 2 利用导数基本公式和复合函数求导公式 x x 1 ln 1 aa axx xx ee uee uu xx xx xx xx 2 2 csc cot sec tan sin cos cos sin xexee xexee xexee xxx xxx xxx sin cos cos sin 2 coscoscos sinsinsin 2 222 xxxxx eeeee xxxxx uuu cos cos sin cos2 cos sin cos sin 2222 xxxx eeeee xxxxx uuu sin sin cos sin2 sin cos sin cos 2222 类型类型 1 1 加减法与乘法混合运算的求导 先加减求导 后乘法求导 括号求导最后计算 1 1 x xxye 3 解 y 33 22 33 xx xexe 13 22 3 3 2 xx x exe 13 22 3 3 2 x xxe 1 2 xxxylncot 2 解 xxxxxxxxxxxxy ln2csc lnln csc ln cot 22222 1 3 设 求 xxey x lntan y 解 x xexe x xexexxey xxxxx 1 sectan 1 tantan ln tan 2 类型类型 2 2 加减法与复合函数混合运算的求导 先加减求导 后复合求导 2 1 求 解 xxylnsin 2 y x xxxxy 1 cos2 ln sin 22 2 2 求 2 sinecosxy x y 解 2222 cos2esine cos sin sin cosxxxxeexey xxxxx 2 3 求 解 x exy 55 ln y xx x x exy 5455 e5ln 5 ln 类型类型 3 3 乘积与复合函数混合运算的求导 先乘积求导 后复合求导 求 解 xey x cos 2 y xexxexexey xxxx sincos2 coscos 2222 其他 求 x x y x cos 2 y 解 2 cos cos 2ln2 cos 2 x xxxx x x y xx 2 cossin 2ln2 x xxx x 0807 设 求 解 2sin sin xey x y 2sin2sin cos2cos sin xxxexey xx 0801 设 求 解 2 x xey y 2222 2 2 xxxx exeexexy 0707 设 求 解 2sin xey x y xxexxey xx 2cos sin sin2sin 0701 设 求 解 x xyecosln y xxxx x eexyesine 1 sin ln 三 积分计算 积分计算 2 2 小题 共小题 共 2222 分 分 5 凑微分类型凑微分类型 1 1 1 d 1 2 x dx x 计算 解 x x x d 1 cos 2 c xx d x x x x 1 sin 1 1 cosd 1 cos 2 0707 计算 解 x x d x 1 sin 2 c xx x x x 1 cos 1 d x 1 sind 1 sin 2 0701 计算 解 x x x d e 2 1 1 ded e 1 2 1 x x x x x c x 1 e 凑微分类型凑微分类型 2 2 xdx 2d x 1 计算 解 x x x d cos cxxdxx x x sin2cos2d cos 0807 计算 解 x x d x sin cxxdxx x cos2sin2d x sin 0801 计算 解 x e x d x cexdex e xx x 22d x 凑微分类型凑微分类型 3 3 xdxlnd x 1 ln d x 1 xadx 计算 解 xd xlnx 1 cxdu ux xd x ln ln 1 ln ln d xlnx 1 计算 解 e 1 d ln2 x x x e 1 e 1 ln2 dln2 d ln2 xxx x x 2 5 ln2 2 1 1 2 e x 5定积分计算题 定积分计算题 分部积分法分部积分法 类型类型 1 1 cx a x a x dxx a xx a xdx a xdxx a a aaaa 1 2 1 11 1 1 ln 11 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 计算 解 e 1 lnxdxx1 acxxxxdxxdxx 222 4 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 4 1 1 4 ln 2 ln 2 1 lnxd 222 1 2 e 1 e e x x x xdxxx e 1 10 1 ln dln e 1 ee e xxxxx 计算 解 e 1 2 d ln x x x 2 ac x x xx xddx x x 1 ln 1 1 ln ln 2 e e xx x x xx x x2 1 1 1ln 1 dlnd ln e 1 e 1 2 计算 解 dx x x e 1 ln 2 1 acxxxxxddx x x 4ln2ln2 ln dx x x e 1 ln 42 1 4ln2 ln2 1 e e xxxxxd e 0807 e 1 lnxdxx 9 4 9 2 1 9 4 ln 3 2 xlnxd 3 2 2 3 2 3 2 3 e 1 2 3 e e xxx 6 0707 e 1 3 e 1 2 nxd 3 1 dlnxlxxx 9 1 9 2 1 9 1 lnx 3 1 333 e e xx 类型类型 2 2 ce a xe a exd a dxxe axaxaxax 2 11 1 xx dexdxxe 2 1 0 1 0 2 2 1 4 1 4 1 0 1 4 1 2 1 222 eexe xx xx dexdxxe 1 0 1 0 12 0 1 1 eexe xx xx dexdxxe 2 1 0 1 0 2 2 1 4 1 4 3 0 1 4 1 2 1 222 eexe xx 0801 考题 1 0 xd xex1 0 1 xe xde 1 0 xx x e 类型类型 3 3 cax a axx a axdx a axx a axdxx sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 sin 2 cax a axx a axdx a axx a axdxx cos 1 sin 1 sin 1 sin 1 cos 2 2 0 sin xdxx101 0 2 sincos cos 2 0 xxxxxd 2 0 cos xdxx1 2 0 2 cossin sin 2 0 xxxxxd cxxxxdxxxxxx2sin 4 1 2cos 2 1 2cos 2 1 2cos 2 1 d2sin 2 0 2sin xdxx 4 0 4 0 2 2sin 4 1 2cos 2 1 2cos 2 1 2 0 xxxxxd 2222 00 00 1111 cos2sin2 sin2cos2 2242 xxdxxxxdxx 7 四 应用题 四 应用题 1 1 题 题 1616 分 分 类型类型 1 1 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l l 问当底半径与高分别为多少时 圆柱体的体积 问当底半径与高分别为多少时 圆柱体的体积 最大 最大 解 如图所示 圆柱体高与底半径 满足 hr 222 lrh 圆柱体的体积公式为 hhlhrV 222 求导并令 0 3 22 hlV 得 并由此解出 lh 3 3 lr 3 6 即当底半径 高时 圆柱体的体积最大 lr 3 6 lh 3 3 类型类型 2 2 已知体积或容积 求表面积最小时的尺寸 已知体积或容积 求表面积最小时的尺寸 2 12 1 0801 考题 某制罐厂要生产一种体积为某制罐厂要生产一种体积为V V的有盖圆柱形容器 问容器的底半径与高各为多少时的有盖圆柱形容器 问容器的底半径与高各为多少时 用料最省用料最省 解 设容器的底半径为 高为 则其容积rh 2 2 r V hhrV 表面积为 r V rrhrS 2 2 2 2 22 由得 此时 2 2 4 r V rS 0 S3 2 V r 3 4 2 V rh 由实际问题可知 当底半径与高 时可使用料最省 3 2 V r rh2 一体积为一体积为V V的圆柱体 问底半径与高各为多少时表面积最小的圆柱体 问底半径与高各为多少时表面积最小 解 本题的解法和结果与 2 1 完全相 同 生产一种体积为生产一种体积为V V的无盖圆柱形容器 问容器的底半径与高各为多少时用料最省的无盖圆柱形容器 问容器的底半径与高各为多少时用料最省 解 解 设容器的底半径为 高为 则无盖无盖圆柱形容器表面积为 令 rh r V rrhrS 2 2 22 得 0 2 2 2 r V rSrh V r 3 由实际问题可知 当底半径与高 时可使用料最省 3 V r rh 2 22 2 欲做一个底为正方形 容积为欲做一个底为正方形 容积为 3232 立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 立方米的长方体开口容器 怎样做法用料最省 0707 考题 解 设底边的边长为 高为 用材料为 由已知 xhy32 2 Vhx 2 x V h 表面积 x V xxhxy 4 4 22 令 得 此时 20 4 2 2 x V xy642 3 Vx 4 x 2 x V h 由实际问题可知 是函数的极小值点 所以当 时用料最省 4 x4