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3 4导数在实际生活中的应用江苏沭阳县修远中学张伟锋 问题情境 问题1 把长为60cm的铁丝围成矩形 长宽各为多少时面积最大 问题2 把长为100cm的铁丝分成两段 各围成正方形 怎样分法 能使两个正方形面积之各最小 问题3 做一个容积为256l的方底无盖水箱 它的高为多少时材料最省 知识建构 例1 在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱底的容积最大 最大容积是多少 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子容积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 解 设箱底边长为xcm 则箱高cm 得箱子容积 令 解得x 0 舍去 x 40 并求得v 40 16000 解 设圆柱的高为h 底半径为r 则表面积 例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底与半径应怎样选取 才能使所用的材料最省 s 2 rh 2 r2由v r2h 得 则 令 解得 从而 答 当罐的高与底直径相等时 所用材料最省 即h 2r因为s r 只有一个极值 所以它是最小值 例3在如图所示的电路中 已知电源的内阻为r 电动势为 外电阻r为多大时 才能使电功率最大 最大电功率是多少 例4 强度分别为a b的两个光源a b 他们间的距离为d 试问 在连接这两个光源的线段ab上 何处照度最小 试就a 8 b 1 d 3时回答上述问题 照度与光的强度成正比 与光源距离的平方成反比 例5 在经济学中 生产x单位产品的成本称为成本函数 记为c x 出售x单位产品的收益称为收益函数 记为r x r x c x 称为利润函数 记为p x 1 设产多少单位产品时 边际成本最低 2 设产品的单价怎样定价可使利润最大 新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用 利用导数求最值的方法 可以求出实际生活中的某些最值问题 1 几何方面的应用 2
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