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几种特殊的矩阵 1 对角矩阵 称为对角矩阵 的n阶方阵 注意 对角矩阵必为方阵 形如 其中 是主对角 线上的元素 主对角线以外的元素 均为零 两个n阶对角矩阵的和 数乘n阶对角矩阵 还是n阶对角矩阵 还是n阶对角矩阵 A 所有n阶对角矩阵 数乘 乘法 的乘积 还是n阶对角矩阵 转置封闭 对角矩阵的转置 还是对角矩阵 两个n阶对角矩阵 关于加法 2 数量矩阵 如果n阶对角矩阵A中的元素 则称A为n阶数量矩阵 即 用一个m阶数量矩阵左乘B 等于用数乘B 在矩阵的乘法中 用一个n阶数量矩阵右乘B 等于用数乘B 起着 数 的作用 数量矩阵 如果n阶方阵A aij 中 3 三角形矩阵 则称A为n阶上三角矩阵 时 即 即主对角线左下方 的元素均为零 上三角矩阵 的元素满足条件 的矩阵称为 如果n阶方阵A bij 中 则称A为n阶下三角矩阵 时 即 即主对角线右上方 的元素均为零 下三角矩阵 的元素满足条件 注意 必为方阵 的矩阵称为 上 下三角矩阵 所有n阶上三角矩阵 即两个n阶上三角矩阵的和 还是n阶上三角矩阵 关于加法 乘法封闭 数乘 即数k乘n阶上三角矩阵后 还是n阶上三角矩阵 两个n阶上三角矩阵 矩阵 的积 还是n阶上三角 上三角矩阵的转置矩阵 同理 下三角矩阵的转置矩阵 为下三角矩阵 关于加法 数乘 为上三角矩阵 对角矩阵 既可看成上三角矩阵 也可看成下三角矩阵 乘法封闭 所有n阶下三角矩阵 4 对称矩阵 如果n阶方阵 则称A为对称矩阵 如 均为对称矩阵 注意 满足 矩阵A为对称矩阵 对称矩阵必为方阵 所有n阶对称矩阵 两个n阶对称矩阵的和 差 数k乘以n阶对称矩阵 但两个n阶对称矩阵的乘积 证 所以A B是对称矩阵 所以kA是对称矩阵 仍是n阶对称矩阵 仍是n阶对称矩阵 不一定再是n阶 但对于矩阵的乘法不封闭 关于矩阵的加 减 对称矩阵 数乘封闭 设A B 则 都是n阶对称矩阵 例如 不是对称矩阵 AB也对称 证 例 A与B可交换 证明 AB对称 A与B可交换 因为A B都是n阶对称矩阵 所以 设A B是两个n阶对称矩阵 5 反对称矩阵 如果n阶方阵 则称A为反对称矩阵 如 注意 时 满足 反对称矩阵必为方阵 矩阵A为反对称矩阵 所有n阶反对称矩阵 两个n阶反对称矩阵的和 差 数k乘以n阶反对称矩阵 两个n阶反对称矩阵的乘积 证 所以A B是反对称矩阵 所以kA是反对称矩阵 但对于矩阵的乘法不封闭 仍是n阶反对称矩阵 仍是n阶反对称矩阵 不一定再是反对称矩阵 关于矩阵的加 减 数乘 都是n阶反对称矩阵 则 封闭 设A B 例如 不是反对称矩阵 例 例 证 且A2 O 则A O 列 行 如果A是实对称矩阵 证明 A对称 例 证明 是对称矩阵 是反对称矩阵 证 是对称矩阵 是反对称矩阵 对任意方阵A 都可表为一个对称矩阵 证 证毕 例 和一个反对称矩阵 为对称矩阵 任一n阶方阵 之和 为反对称矩阵 设A为任一
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