吉林实验中学高三数学最后模拟考

吉林省实验中学2006年高三数学最后模拟考试卷2006.5一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分共计60分）1满足条件的所有集合A的个数是（ ）A6B7C8D162（理科）已知复数z和（都是纯虚数，则z=（ ）AiB2iCiD2i（文科）函数的初相为（ ）ABCD3命题甲：p是q 的充分条件；命题乙：p是q的充分必要条件。则命题甲是命题乙的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知、表示平面，、K表示直线，并且有。给出三个结论：；。其中正确的结论的个数是（ ）A0B1C2D35在平面直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）A6B9C12D156已知m0，n0，且满足m+n=4，则下列不等式恒成立的是YCY（ ）ABCD7在的展开式中，不含x的项等于（ ）A4B8C12D208现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘4个人，则不同的乘车方案种数为（ ）A30B50C60D809若a，b，c是三个两两互不相同的实数，其中a是b和c的等比中项，b是a和c的等差中项，则（ ）A4B1C1D4 10已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足则实数的值为（ ）AB2C2D11过抛物线的焦点F作直线与此抛物线相交于A、B两点。O是坐标原点，当时，直线AB的斜率的取值范围是（ ）ABCD12半径为R的球的内接正三棱正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为（ ）A3BC2D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分共计16分）13若，则的终边落在第 象限；14已知双曲线的两条渐近线的方程是和，一条准线的方程是，则此双曲线的方程是 ；15已知可导函数f（x）的导函数为，且满足，则 ；16设f（x）在其定义域R上是单调递增的奇函数，在其定义域R上是偶函数，并且在区间上f（x）和的图像关于x轴对称，英才苑现在给出下列条件：其中能够使得不等式恒成立的条件的序号是 （请把你认为正确的都填上）三、解答题（本大题共6小题，满分共计74分）17（本小题满分12分）若A，B，C是三角形ABC的三个内角，向量且与的夹角为。（1）求角B的大小；（2）求的取值范围。18（本小题满分12分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，英才苑M是棱AB的中点（1）求证：BC平面A1MD1；（2）求二面角A1D1MC的大小。19（本小题满分12分）甲、乙、丙三个口袋内都分别装有6个不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，现从甲、乙、内三个口袋中依次随机各摸出1个球。理科：（1）求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率； （2）求摸出的3个球中含有有色球数的概率分布列和数学期望。文科：（1）求恰好摸出2个黑球的概率； （2）求恰好摸出红球、黑球和无色透明球各1个的概率； （3）求摸出的3个球中至少有1个是有色球的概率。20（本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，它的前n项和Sn满足，并且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）理科：设，Tn是数列的前n项和，求证：。 文科：设，Tn是数列的前n项和，求证：。21（本小题满分12分）理科：已知是定义在R上的单调递增函数，是它的反函数，并且曲线y=在其与坐标轴交点处的切线y=在其与坐标轴交点处的切线互相平行。（1）求和的解析式；（2）设函数，当x0且时，不等式恒成立，求实数m的取值集合。文料：设函数（1）当时，函数的图像经过点O（0，0）和M（1，1）两点，并且在原点处取极小值，求函数的极大值；（2）求证：当函数有极小值时，它也一定有极大值。22（本小题满分14分）F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，B是其上顶点，N是其右准线与x轴的交点，并且满足。（1）求此椭圆的方程；（2）若M是坐标平面内一动点，G是三角形MF1F2的重心，且，其中O是坐标原点，求动点M的轨迹C的方程；（3）点P是此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（2）中所求得轨迹C的两条不同的切线，Q、R是两个切点。理科：求的最小值。文科：当0时，求点P 的横坐标的取值范围。参考答案一、选择题CDBBC DDBAC DA二、填空题13四 14 156 16三、解答题17解：（1），且与的夹角为，即或1。而B是三角形的内角，；6分（2）由（1）可知，所以 。 。 ，即的取值范围是。12分18解：（1）B1C1，B1C1A1D1，BCA1D1。又A1D1平面A1MD1，BC平面A1MD1 平面A1MD1；5分 （2）设平面A1MD1与棱DC相交于点N，连结D1N，则点N是DC的中点。 A1D1平面D1DCC1，A1D1平面A1MND1 平面A1MND1平面D1DCC1，且D1N是交线。过点C作CHD1N于H点，则CH平面A1MND1，再过H作HOD1M于O点，连结CO，根据三垂线定理得COD1M，从而COH是二面角CD1MN，也就是所求二面角A1D1MC的补二面角的平面角。8分设正方体的棱长为2，则在RtDND1中，由于DD1=2，DN=，所以有在RtCHN中，由于所以有。又由于可求得所以在MD1C中有进而有根据三角形面积公式得从而在RtCHO中，因此所求的二面角A1D1MC的大小为12分向量作法：分别以直线DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，并设正方体的棱长为2，则相关点的坐标分别为A1（2，0，2），D1（0，0，2），C（0，2，0），M（2，1，0）6分设是平面A1MD1的法向量，则而且所以有，即令z=1，则y=2，x=0，从而8分再设是平面CMD1的法向量，则而且，所以有，即令，则，从而10分设是所求二面角的平面角，则是钝角，并且有即为所求。12分19解：由于各个袋中球的情况一样，而且从每一个袋中摸出红球、黑球、无色球的概率均分别为，所以根据相互独立事件同时发生的概率公式可得理科：（1）4分（2）的取值为0，1，2，3，并且； 从而的概率分布列为0123p 并且12分文科：（1）；4分 （2） 8分 （3） 12分20解：（1）对任意，有 当n=1时，有，解得a1=1或2 2分当n2时，有 当并整理得而an的各项均为正数，所以 6分当a1=1时，成立；当a2=2时，不成立；舍去。所以 9分 （2）证明：理科：根据（1）的结论可得所以有 即 12分文科：根据（1）结论可得所以有 即 12分21理科：解：（1）由已知条件可知：函数，所以曲线y = f (x)只与y轴有交点M（0，a）；函数，所以曲线y = f1(x)只与x轴有交点N（a,0）.2分 对f (x)和f1(x)求导得 ， ， 根据条件应当有 ，即4分 而函数f (x)是定义在R上的单调增函数，所以a0，即a = 1. 因此 .6分 （2）由（1）可得，从而有 当x 0且x1时，恒成立.7分 分以下两种情况来考虑； 当 令 再令 当 所以有这样此时只需m1即可；9分 当 令再令当所以有，这样此时只需m1即可；11分根据题意；两种情形应同时成立，因此m=1，即其取值集合为112分文科：解：（1）由于 a= 1，函数f (x)的图像经过点O（0，0）和M（1，1），所以有 .从而f (x) = x3+bx2 +(1b)x，2分 f（x）=3x2 + 2bx + (1b).3分又因为函数f (x)在原点处取得极小值，所以x = 0是方程f(x)=0的根.所以1b=0，b=1，进而有f (x)=x3+x2. 5分 （2）对函数f (x)求导得 f(x) = 3ax2+2bx +c 由于f (x)有极小值，所以方程f(x) =0有实根，又a0，所以方程f(x) =0是一个一元二次方程，故可令其根为x1和x2，并且x1x2.7分 假设x1=x2，则方程f(x) =0有两相等的实根，于是f(x) =3a (xx1)2.从而当a0时，f(x)0恒成立；当a 0时，f(x) 0恒成立，而且只有当x = x1时，才有f(x) =0.因此函数f(x)在整个定义域R上是单调的，f (x)不可能有极小值，与已知矛盾.从而x1x2，x1 0时，列表如下：xx1（x1,x2）x2f(x)+00+f(x)极大值极小值当a0),则因为所以（2c，0）=从而N（2c，0），B（0，c）所以因此所求椭圆的方程为 5分 （注意：此问也可以直接利用a，b，c表示出来B，F1，F2，N四个点的坐标，再代入题设所给的向量关系式中，进而求出a，b得方程）。 （2）设M（x，y），则由（1）得F1（2，0），F2（2，0），所以G，从而 。因为 所以有由于G是三角形MF1F2的重心，即M，F1，F2应当是一个三角形的三个顶点，因此所求的轨迹C的方程为（y0）； 9分 （3）理科：由（2）知轨迹C的方程为即（y0）。显然轨迹C是以点C（3，0）为圆心，半径r=3的圆除去两点（0，0）和（6，0）剩余部分的部分曲线。设P（m，n），则根据平面几何知识得从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得当且仅当时，取“=” （） 12分由点P（m，n）在椭圆上（非短轴端点），并且在圆外，可