岩石力学第四讲、岩石的强度理论

岩石的强度理论 一 概述 强度理论 破坏类型与力学原因二 最大正变形理论 最大拉伸线应变理论 三 莫尔 库仑 Mohr Coulomb 强度理论四 剪应变能强度理论与八面体应力理论五 联合强度理论六 格里菲斯 Griffith 强度理论七 Hoek Brown岩石破坏经验判据 第一节 概述 强度理论 破坏类型与力学原因 1 强度理论 岩石的应力 应变达到一定程度后 就会破坏 单轴应力下的岩石破坏容易理解 但复杂应力 应变条件下 岩石是怎么破坏的 应研究 用以表征岩石的破坏条件的函数 应力 应变函数 称为破坏判据或强度准则 强度准则的建立 应反映岩石的破坏机理 所有研究岩石破坏原因 过程和条件的理论 称为强度理论 2 岩石按破坏特征可分为 脆性破坏 3 延性破坏 5 和弱面剪切破坏 按力学机理可分为张性破坏 拉伸破坏 和剪性破坏 剪切破坏 包括塑性流动 每种破坏都是在应力应变满足一定条件后发生的 表征岩石的破坏条件的函数称为强度准则 本构方程 描述物质质点的力学状态 应力 应变状态 过程 应力 应变路径 之间的关系及其与时间关系的数学表达式 强度理论 破坏类型与力学原因 岩石的破坏型式与机制 强度理论 破坏类型与力学原因 3 张性破坏 由于岩石受到拉伸或其它承载状态衍生的拉伸作用而引起的破坏 称为张性破坏 其特点为断裂面发生拉开 出现张开的裂缝 脆性材料内部有微细裂纹 应力作用下裂纹端部应力集中衍生拉应力 拉应力达到抗拉强度后微细裂纹扩展 微细裂纹扩展连通形成宏观裂缝导致岩石破坏 拉应变达到极限值 Griffis 微细裂纹端部拉应力集中 到极限值裂纹扩展 张性破坏的解释 强度理论 破坏类型与力学原因 4 剪切破坏 由剪切作用或压缩衍生的剪应力引起的破坏 特点为沿断裂面发生相互错动 出现闭合的裂缝 断裂面上可观察到擦痕 直接剪切沿剪应力方向错动 压缩时试件内的剪应力具有对称性 故破坏时出现交叉裂缝 呈X形 破坏角大于45度 压缩引起的剪切破坏 第二节 最大正应变理论 1 最大拉伸线应变理论 其理论根据为压缩时试件沿应力方向产生裂缝并破坏 推广到复杂应力状态 又称最大正应变理论 第二强度理论 适用于脆性材料 对塑性材料不适用 2 表述为 不管物体处入怎样的应力状态 最大伸长线应变 3是引起材料断裂破坏的主因 当它达到简单拉伸时破坏的线应变 t 材料就发生断裂破坏 3 破坏判据 3 t4 推广应用 由虎克定律 t t E由广义虎克定律 3 3 2 1 E故复杂应力条件下的最大拉伸线应变理论的应力判据为 3 2 1 t 1 18世纪末 Coulomb提出材料破坏是由剪应力引起的 当材料内部某斜截面的剪应力达到材料的抗剪强度时 就会沿该斜截面产生破裂 材料的抗剪强度条件可由下式表示 称为库仑准则 Sc tg C 斜截面上的剪应力 Sc 材料的抗剪强度 斜截面上的正应力 0 材料的内摩擦角 C 材料的内聚力 凝聚力 第三节 莫尔 库仑 Mohr Coulomb 强度理论 斜截面上的应力分解与莫尔圆1 二向应力状态下斜截面的应力 设斜截面与x轴的夹角为 其上的正应力为 a 剪应力为 a 取三角体 根据力的平衡原理 可得到 a a的表达式 2 斜截面上的正应力和剪应力随斜截面的方位改变 3 两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数 其上的剪应力等值反号 剪力互等原理 公式 a x y 2 x y 2 cos2a xysin2a a x y 2sin2a xycos2a 4 应力圆 莫尔圆 实际上是斜截面上应力的图解法 建立 坐标系 确定D1点 x xy 再确定D2点的位置 y yx 注意 xy xy 剪力互等 连接D1 D2两点 与 轴交于点C 以C点为圆心 CD1为半径划圆 即应力圆 莫尔圆 5 欲求斜截面 与x轴的夹角为 上的正应力和剪应力 可自D1点沿圆周旋转2a度 E点的坐标代表此斜截面的正应力 剪应力 6 应力圆与 轴的交点为主应力 其值分别为圆心坐标 半径 应力圆的圆心坐标为 x y 2 0 应力圆的半径为 x y 2 2 xy2 斜截面上的应力分解与莫尔圆2 三轴应力状态下的应力圆1 A平行于 2轴的应力状态2 B平行于 3轴的应力状态3 C平行于 1轴的应力状态以A圆为最大 一点的应力状态在平面条件下的应力圆 主应力条件下的莫尔圆 圆心 半径 三 莫尔 库仑 Mohr Coulomb 强度理论2 2 1900年Mohr认为 剪应力达到某一极限值时 就沿该斜截面破裂 但破坏与剪切面上的正应力有关 滑面上摩擦力作用 此极限值为正应力的函数 既 Sc f 为一条曲线 称为莫尔准则 库仑准则为直线 为莫尔准则的特例 统称莫尔 库仑准则3 莫尔强度曲线 由破坏时的极限应力状态绘制的应力圆称为极限莫尔圆 此应力圆必定与Sc f 曲线相切 即满足破坏准则 对同种岩石改变不同的正应力做强度实验 可绘出一系列极限莫尔圆 其包络线既为莫尔强度曲线 由于剪力互等 曲线上下对称 强度曲线的应用 应力圆在强度曲线以内 表明这点的应力状态是安全的 若与曲线相切 表明岩石将沿该点所代表的斜截面破坏 切点所代表的面就是破坏面 此面与中间主应力 2平行 莫尔准则认为 在三向应力条件下 岩石的破坏与中间主应力无关 岩石的强度条件强度线应力圆极限应力圆 极限莫尔圆强度曲线强度包络线 三 莫尔 库仑 Mohr Coulomb 强度理论3 4 破坏面法向与最大主应力方向的夹角 N点代表破坏面 破坏面法线与主应力夹角a 2a 90 故a 45 2 破坏圆上凡是a 45 2的面 其应力状态是一样的满足强度准则的 故破坏面是一组平行的斜面 根据剪力互等原理 N点与N1同时满足强度准则 故破坏面是成对的 呈X状 但两组破坏面是斜交的 90 破坏面上的应力与主应力的关系 a 1 3 2 1 3 2 cos2a a 1 3 2 sin2a 三 莫尔 库仑 Mohr Coulomb 强度理论4 5 莫尔强度曲线的绘制 变角剪切法获得的强度数据 单向抗压 抗拉强度试验数据 三向压缩实验求强度曲线6 用主应力表达的莫尔 库仑准则 如岩石的C 值是常数 则强度准则可由直线表示 如右图 1 3 2 Ccos 1 3 2 sin 变形后 并考虑单轴情况适用 得到 1 1 sin 1 sin 3 2Ccos 1 sin 3 Sc 塑性系数 1 sin 1 sin Sc 单轴抗压强度 2Ccos 1 sin St 单轴抗拉强度 2Ccos 1 sin 强度准则的数学表达式 直线型强度线 tg c 1 1 sin 1 sin 3 2Ccos 1 sin Sc 2Ccos 1 sin St 2Ccos 1 sin 抛物线强度曲线 双曲线强度曲线 双曲线要求 c t 3 三 莫尔 库仑 Mohr Coulomb 强度理论5 7 对莫尔理论的评价 优点 综合性好 能表述抗压 抗拉 抗剪 真实地反映了岩石抗剪强度与正应力有关的事实 受拉区闭合 范围小 反映了岩石抗拉强度低的事实 三向等拉时可交与曲线与 轴的交点 三向等拉是会破坏的 受压区是开放的 三向等压时 莫尔圆缩为一点 不能与强度曲线相切 故认为三轴等压时 岩石不会破坏 莫尔理论简单 实用 方便 不足之处 忽略了 2影响 与试验有出入 没能反映结构面的影响 对受拉研究不够 不适应蠕变 膨胀等情况 第四节 剪应变能强度理论和八面体应力理论 剪应变能强度理论从能量观点出发 八面体应力理论从应力观点出发 一 剪应变能强度理论 当材料剪应变能达到一定值时就会引起材料屈服 或破裂 或 在三向应力状态下 单位体积的形变能V与材料受拉 压 达到破坏的形变能相等时 材料就屈服了 受力后物体将改变大小和形状 并将能量储藏在物体内 形变能V 形状改变所需能力 体变能UV 体积改变所需能量 全应变能U 形变能和体变能之和 U V UV或 V U UV 一 剪应变能强度理论 1 全应变能UU 1 1 2 2 3 3 2将广义虎克定律代入 得U 12 22 32 2 1 2 2 3 3 1 2E 2 体变能UV体变能 平均应力 体积应变 2UV 1 2 1 2 3 2 6E 3 形变能VV U UV4 单向受压至屈服时的形变能 VY 1 y 3E 5 强度条件 V VY或 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2 y2 二 八面体应力理论 八面体应力理论为剪应力强度理论 它认为材料的破坏是八面体剪应力值达到临界值引起的 1 八面体上的应力正应力 oct 1 2 3 3 剪应力 oct Sqrt 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2 强度条件 Mises准则 当八面体上的剪应力值等于单向受力至屈服时八面体上的极限剪应力值时 材料屈服 圆柱体 半径R Sqrt 2 3 y 3 强度条件的几何意义 在主应力坐标系中 屈服条件表示为圆柱面 轴线为 1 2 3 半径为R Sqrt 2 3 y 当应力状态在圆柱体内时 材料不屈服 当在圆柱面上时屈服 考虑了 2 但不能模拟岩石材料抗拉强度明显小于抗压强度的情况 对延性岩体的破坏有一定意义 4 Nadai强度准则 材料的破坏是由于八面体上的剪应力达到临界值所致 但这一临界值又是八面体法向应力的函数 即 oct f oct 强度曲面不再是圆柱面 第五节 联合强度理论 每种强度理论都有与试验结果符合最好的应力状态区域 对同一种材料 由于应力状态的不同 不能用同一个准则来描述其极限状态 在不同带 有不同的破坏机理 应用不同的强度准则 如图分区 带为张性破裂 带为剪破裂 带为塑性流动 各类准则联合应用 第六节 格里菲斯 Griffith 强度理论 1 Griffith认为 材料中有许多随机分布的微细裂隙 在复杂应力状态下 裂隙端部会出现很大的拉应力集中 当某点的拉应力超过材料的抗拉强度时 裂隙端部会产生新的裂隙 或沿原有裂隙进一步扩展 裂隙发展的方向最后与最大主应力方向平行 并导致材料的脆性破坏 裂纹的扩展可从能量方面和应力方面进行研究 2 裂纹尖端应力集中的基本假定 裂隙的形状近似一扁平的椭圆孔 将扁平椭圆孔作为无限介质中的单孔处理 并认为相邻裂隙之间互不影响 按平面应力问题进行分析 a 偏心角m 轴比 极角 裂纹扩展的能量准则 当裂纹引起的应力集中积聚的弹性势能大于使材料沿裂纹开裂扩展必须做的阻力功时 材料开裂且释放弹性势能 一部分消耗在产生新表面的阻力功 一部分为动能 很小 G 裂纹扩展力u 弹性势能 a 裂纹扩展 R 表面能增加率或裂纹扩展阻力 为单位面积表面能 基本推导过程 令 格里菲斯 Griffith 强度理论2 3 根据弹性力学的Inglis公式 考虑到裂隙扁平 轴比很小 裂隙端部的切向应力在取极限的情况下 可讨论如下 当 1 3 3 0 当单向受拉时 max 2 3 m 在复杂应力下 max 1 3 2 4m 1 3 单向受拉时 3 St 故 max 2 3 m 故 1 3 2 8St 1 3 0 当 1 3 3 0 3为拉应力 强度条件为 3 St 单向压缩时 Sc 8St 根据Griffith强度理论 抗压强度为抗拉强度的8倍 一定程度反映了岩石抗拉强度小于抗压强度的特点 但与试验还差距较大 格里菲斯 Griffith 强度理论3 以 xy y表示的准则