函数与方程的思想

函数与方程的思想考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。”什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程,研究方程的根有什么要求.著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学，特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数,尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具因此，在数学教学中注重函数思想是相当重要的对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题:是否需要把一个代数式看成一个函数?是否需要把字母看作变量？如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？【例1】(2005年，江西卷，理21)已知数列各项都是正数,且满足（）证明（）求数列的通项公式an.这是一个以递推公式为背景的数列不等式，但是把递推公式看作一个函数，就可以获得一个很简单的解法。 【分析及解】（）方法一:把看作一个函数由此启发得 于是 又因为所以 ,由以上有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n = k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切. （）下面来求数列的通项：方法一: 所以, 又b0=1，所以方法二：由已知的递推式，有,即 ,设 由（）有于是两边取常用对数,得 构造等比数列，为此设，用待定系数法可得。这是方程思想的作用。则是以为首项,为公比的等比数列., 【例2】(2004年，全国卷，理21)给定抛物线,是的焦点,过点的直线与相交于两点.（）设的斜率为1,求与的夹角的大小;（）设,若,求在轴上的截距的变化范围.【分析及解】 （）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为将代入方程，并整理得 设则有 所以夹角的大小为 （）由题设 得 即 由得， 联立、解得，依题意有又F（1，0），得直线l方程为 当时，l在方程y轴上的截距为把看作函数，设 可知在4，9上是递减的，（或用导数，证明是减函数。） 直线l在y轴上截距的变化范围为【例3】(2005年，山东卷，理19)已知是函数的一个极值点，其中，（）求与的关系式； （）求的单调区间；（）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围. 【分析及解】 ()因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减故当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即 设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，而式恒成立等价于所以解之得又所以即的取值范围为【例4】（2001年，全国卷）已知是正整数，且1() 证明 ；() 证