广西2019高考数学二轮复习专题对点练24圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

1 专题对点练专题对点练 2424 圆锥曲线中的定点 定值与存在性问题圆锥曲线中的定点 定值与存在性问题 1 1 已知动圆m恒过点 0 1 且与直线y 1 相切 1 求圆心m的轨迹方程 2 动直线l过点p 0 2 且与点m的轨迹交于a b两点 点c与点b关于y轴对称 求证 直线ac 恒过定点 2 2 已知椭圆 y2 1 a 1 与圆e x2 4 相交于a b两点 且 ab 2 圆e交y轴负半 x2 a2 y 3 2 2 3 轴于点d 1 求椭圆 的离心率 2 过点d的直线交椭圆 于m n两点 点n与点n 关于y轴对称 求证 直线mn 过定点 并求该 定点坐标 3 3 已知抛物线e y2 4x的焦点为f 圆c x2 y2 2ax a2 4 0 直线l与抛物线e交于a b两点 与圆c 切于点p 1 当切点p的坐标为时 求直线l及圆c的方程 4 5 8 5 2 当a 2 时 证明 fa fb ab 是定值 并求出该定值 2 4 4 设点m是x轴上的一个定点 其横坐标为a a r r 已知当a 1 时 动圆n过点m且与直线x 1 相 切 记动圆n的圆心n的轨迹为c 1 求曲线c的方程 2 当a 2 时 若直线l与曲线c相切于点p x0 y0 y0 0 且l与以定点m为圆心的动圆m也相切 当动圆m的面积最小时 证明 m p两点的横坐标之差为定值 5 5 已知椭圆m 1 a b 0 的焦距为 2 离心率为 x2 a2 y2 b23 3 2 1 求椭圆m的方程 2 若圆n x2 y2 r2上斜率为k的切线l与椭圆m相交于p q两点 op与oq能否垂直 若能垂直 请 求出相应的r的值 若不能垂直 请说明理由 6 6 已知椭圆 1 a b 0 的右焦点为f 右顶点为a 上顶点为b 已知 ab of 且 aob的 x2 a2 y2 b23 面积为 2 1 求椭圆的方程 2 直线y 2 上是否存在点q 使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直 若存在 求点q的坐标 若不存在 说明理由 3 专题对点练 2424 答案 1 1 1 解 动点m到直线y 1 的距离等于到定点c 0 1 的距离 动点m的轨迹为抛物线 且 1 解得p 2 动点m的轨迹方程为x2 4y p 2 2 证明 由题意可知直线l的斜率存在 设直线l的方程为y kx 2 a x1 y1 b x2 y2 则c x2 y2 联立化为x2 4kx 8 0 16k2 32 0 解得k 或k y kx 2 x2 4y 22 x1 x2 4k x1x2 8 直线ac的方程为y y2 x x2 y2 y1 x2 x1 又y1 kx1 2 y2 kx2 2 4k 4k kx2 2 kx1 kx2 x kx1x2 k x2 2 化为 4y x1 x2 x x2 4k x2 x1 4k x2 4y x1 x2 x 8 令x 0 则y 2 直线ac恒过一定点 0 2 2 2 1 解 由题意得a b两点关于y轴对称 设xb 则圆心e到ab的距离为 1 3 yb b 代入椭圆方程得 1 解得a2 4 e 1 2 3 1 2 3 a2 1 4 3 2 2 证明 设m x1 y1 n x2 y2 n x2 y2 圆e交y轴负半轴于点d 0 1 2 当直线mn斜率存在时 设其方程为y kx 消去y得 1 4k2 x2 4kx 3 0 1 2 y kx 1 2 x2 4 y2 1 x1 x2 x1x2 4k 1 4k2 3 1 4k2 直线mn 的方程y y1 x x1 依据椭圆的对称性 若直线mn 过定点 定点一定在y轴上 y1 y2 x1 x2 令x 0 y y1 2 x1 y1 y2 x1 x2 x1y2 y2x1 x1 x2 x1 kx2 1 2 x2 kx1 1 2 x1 x2 2kx1x2 x1 x2 1 2 当直线mn斜率不存在时 直线mn 的方程为x 0 显然过点 0 2 综上 直线mn 过定点 0 2 3 3 1 解 由圆 x a 2 y2 4 则圆心 a 0 半径为 2 将p代入圆方程 解得a 2 或a 圆的方程为 x 2 2 y2 4 或 y2 4 4 5 8 5 2 5 x 2 5 2 当a 2 圆心c 2 0 则直线cp的斜率k 8 5 0 4 5 2 4 3 由直线l的斜率为 则直线l的方程y 整理得 4y 3x 4 0 1 k 3 4 8 5 3 4 x 4 5 当a 圆心c 则直线cp的斜率k 2 5 2 5 0 8 5 0 4 5 2 5 4 3 由直线l的斜率为 则直线l的方程y 整理得 20y 15x 44 0 1 k 3 4 8 5 3 4 x 4 5 综上可知 直线l方程为 4y 3x 4 0 圆c的方程为 x 2 2 y2 4 或直线l方程为 20y 15x 44 0 圆 c的方程为 y2 4 x 2 5 2 2 证明 当a 2 时 圆c的方程 x 2 2 y2 4 当l垂直于x轴时 则x 4 a 4 4 b 4 4 fa fb 5 ab 8 fa fb ab 2 当l不垂直于x轴时 设直线l y kx b k 0 直线l与圆c相切 则 2 则 4kb b2 4 结合图象知kb0 x1 x2 x1x2 2kb 4 k2 b2 k2 4 ab 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 2kb 4 k2 2 4 b2 k2 1 k2 16kb 16 k2 1 k2 4b2 k2 4 b2 k2b2 k2 4 4 4kb k2b2 k2 4 2kb k2 由抛物线的性质可知 fa fb x1 x2 p x1 x2 2 fa fb 2 2kb 4 k2 fa fb ab 2 2 2kb 4 k2 4 2kb k2 fa fb ab 是定值 定值为 2 4 4 1 解 因为圆n与直线x 1 相切 所以点n到直线x 1 的距离等于圆n的半径 所以点n到点m 1 0 的距离与到直线x 1 的距离相等 所以点n的轨迹为以点m 1 0 为焦点 直线x 1 为准线的抛物线 所以圆心n的轨迹方程 即曲线c的方程为y2 4x 2 证明 由题意 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y y0 k x x0 由 y y0 k x x0 y2 4x 得y2 y kx0 y0 0 k 4 又 4x0 所以y2 y y0 0 y2 0 k 4 k 4y 2 0 因为直线l与曲线c相切 所以 1 k 0 解得k k 4y 2 0 y0 2 y0 所以直线l的方程为 4x 2y0y 0 y2 0 动圆m的半径即为点m a 0 到直线l的距离d 4a y2 0 16 4y2 0 当动圆m的面积最小时 即d最小 而当a 2 时 d 2 4a y2 0 16 4y2 0 y2 0 4a 2y2 0 4 y2 0 4 4a 4 2y2 0 4 y2 0 4 2 4a 4 2y2 0 4 a 1 当且仅当 4a 8 即x0 a 2 时取等号 y2 0 所以当动圆m的面积最小时 a x0 2 即当动圆m的面积最小时 m p两点的横坐标之差为定值 5 5 解 1 依题意椭圆m 1 a b 0 的焦距为 2 离心率为 x2 a2 y2 b23 3 2 得c e 可得a 2 则b 1 3 c a 3 2 故椭圆的方程为 y2 1 x2 4 2 设直线l的方程为y kx m 直线l与圆x2 y2 1 相切 r 即m2 r2 k2 1 m k2 1 由可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 y kx m x2 4 y2 1 64k2m2 4 1 4k2 4m2 4 64k2 16m2 16 0 m2 4k2 1 可得r2 4 令p x1 y1 q x2 y2 则x1 x2 x1x2 8km 1 4k2 4m2 4 1 4k2 y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 若op与oq能垂直 则 x1x2 y1y2 0 op oq 5 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 0 1 k2 m2 0 4m2 4 1 4k2 8k2m2 1 4k2 整理得 5m2 4 k2 1 0 把 代入得 k2 1 5r2 4 0 r 满足r2b 0 的右焦点为f 右顶点为a 上顶点为b 已知 ab of 且 aob x2 a2 y2 b23 的面积为 2 c ab a 2 b a2 b2 3 1 222 椭圆方程为 1 x2 4 y2 2 2 假设直线y 2 上存在点q满足题意 设q m 2 当m 2 时 从点q所引的两条切线不垂直 当m 2 时 设过点q向椭圆所引的切线的斜率为k 则l的方程为y k x m 2 代入椭圆方程 消去y