九年级数学下册 第2章二次函数 2.3二次函数的应用2.3.1把握变量之间的依赖关系课件 湘教版

2 3二次函数的应用2 3 1把握变量之间的依赖关系 1 运用二次函数解决现实生活中的实际问题 重点 2 建立适当的坐标系 待定二次函数解析式 利用二次函数的图象和性质解决问题 重点 难点 1 建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤 1 根据题意建立适当的 2 把已知条件转化为点的 3 合理设出 4 利用待定系数法求出 5 根据求得的解析式进一步分析 判断并进行有关的计算 平面直角坐标系 坐标 函数解析式 函数解析式 2 最值问题的理解 二次函数y ax2 bx c a 0 1 当a0时 抛物线开口向上 其顶点是图象的最 点 即自变量x取顶点的横坐标时 函数y有最 值 3 综上所述 当时 y有最大 小 值 高 大 低 小 1 以抛物线的顶点为原点 对称轴为y轴建立坐标系 抛物线解析式形式为y ax2 a 0 2 在同一问题中 建立不同的坐标系 所得函数解析式不同 但所求问题结果相同 3 二次函数y x2 2x 2的最大值为1 4 周长为12的矩形 其最大面积为9 知识点1建立坐标系解决实际问题 例1 2012 武汉中考 如图 小河上有一拱桥 拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分acb和矩形的三边ae ed db组成 已知河底ed是水平的 ed 16m ae 8m 抛物线的顶点c到ed的距离是11m 以ed所在的直线为x轴 抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系 1 求抛物线的解析式 2 已知从某时刻开始的40h内 水面与河底ed的距离h 单位 m 随时间t 单位 h 的变化满足函数关系h t 19 2 8 0 t 40 且当水面到顶点c的距离不大于5m时 需禁止船只通行 请通过计算说明 在这一时段内 需多长时间禁止船只通行 思路点拨 1 分析题意 结合顶点c 设抛物线解析式 代入点b坐标 求出解析式 2 理解水面到顶点c的距离不大于5m的意义 h的值 代入解析式 t的值 解决问题 自主解答 1 依题意可得 顶点c的坐标为 0 11 设抛物线解析式为y ax2 11 由抛物线的对称性可得 点b 8 8 8 64a 11 解得a 抛物线的解析式为y x2 11 2 当水面到顶点c的距离不大于5m时 h 6 把h 6代入h t 19 2 8 0 t 40 得t1 35 t2 3 禁止船只通行的时间为 t1 t2 32 h 答 禁止船只通行的时间为32h 总结提升 建立坐标系解决实际问题的三个步骤1 根据题意 建立恰当的坐标系 设抛物线解析式 2 准确转化线段的长与点的坐标之间的关系 得到抛物线上点的坐标 代入解析式 求出二次函数解析式 3 应用所求解析式及其性质解决问题 知识点2最值问题 例2 2013 武汉中考 科幻小说 实验室的故事 中 有这样一个情节 科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中 经过一天后 测试出这种植物高度的增长情况 如下表 由这些数据 科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数 且这种函数是反比例函数 一次函数和二次函数中的一种 1 请你选择一种适当的函数 求出它的函数关系式 并简要说明不选择另外两种函数的理由 2 温度为多少时 这种植物每天高度增长量最大 3 如果实验室温度保持不变 在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm 那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择 直接写出结果 解题探究 1 此函数图象过点 0 49 可以排除哪种函数 提示 可以排除反比例函数 当自变量增加相同数值时 函数值的变化量不相等 可以排除哪种函数 提示 可以排除一次函数 点 4 41 和点 2 41 2 49 和 0 49 有什么关系 由此可以确定是哪一种函数 提示 这两组点关于x 1对称 可以确定此函数为二次函数 如何求此函数的解析式 提示 设y ax2 bx c 找三对x y的对应值分别代入 确定a b c 即y 2 将 1 中所得的函数解析式配方得y 当x 时 y最大 其最大值为 即当温度为 时 这种植物每天高度的增长量最大 1 2 49 x2 2x 49 x 1 2 50 1 50 1 3 实验室温度保持不变 则该植物每天高度的增长量 若10天内该植物高度增长量的总和超过250mm 则每天高度增长量超过25mm 当y 25时 解得x1 x2 结合函数性质分析x的范围为 相同 6 4 6 x 4 总结提升 实际问题中利用二次函数求最值的 四 点注意1 要把实际问题正确地转化为二次函数问题 2 列函数关系式时要注意自变量的取值范围 3 若图象不含顶点 应根据函数的增减性来确定最值 4 有时根据顶点求出的最值不一定是函数在实际问题中的最值 实际问题中的最值应在自变量的取值范围内求取 题组一 建立坐标系解决实际问题1 如图 一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称 ab x轴 ab 4cm 最低点c在x轴上 高ch 1cm bd 2cm 则右轮廓线dfe的函数解析式为 a y x 3 2b y x 3 2c y x 3 2d y x 4 2 解析 选c 由题知of 3cm 设抛物线的解析式为y a x 3 2 又 1 1 在图象上 a 1 3 2 1 解得a y x 3 2 2 某中心广场有各种音乐喷泉 其中一个喷水管喷出的水柱的最大高度为3米 此时距喷水管的水平距离为米 在如图所示的坐标系中 这个喷泉水柱轨迹的函数解析式是 a y x 2 3b y 3 x 2 3c y 12 x 2 3d y 12 x 2 3 解析 选c 抛物线的顶点坐标为 3 设抛物线的解析式为y a x 2 3 又 0 0 在抛物线上 0 a 0 2 3 解得a 12 y 12 x 2 3 3 有一座抛物线形拱桥 如图 当水面在l时 拱顶离水面2m 水面宽4m 水面下降2 5m时 水面宽度将增加 m 解析 以拱桥顶为坐标原点 建立平面直角坐标系 设抛物线的解析式为y ax2 抛物线过点 2 2 2 4a a y x2 当y 4 5时 即 x2 4 5 x2 9 x 3 此时水面宽6m 即水面宽度增加2m 答案 2 4 如图为某一幢建筑物 某人从10m高的窗口a用水管向外喷水 喷出的水成抛物线状 抛物线所在平面与地面垂直 如果抛物线的最高点m离墙1m 离地面m 则水流落地点离墙的距离ob是 解析 以o为坐标原点 ob为x轴 oa为y轴 建立平面直角坐标系 设此抛物线的函数关系式为y ax2 bx c 由题意可得 抛物线解析式为当y 0时 与x轴的交点坐标为 1 0 3 0 即ob 3 答案 3m 5 我国某地的跨江大桥采用了国际上新颖的v型钢构组合拱桥结构 主桥的钢拱在空中划出一道优美的弧线 远远望去像是一弯彩虹横卧于清波之上 大桥的桥拱是抛物线的一部分 位于桥面上方部分的拱高为20米 跨度为120米 如图 1 请你建立适当的直角坐标系 求出可以近似描述主桥上的钢拱形状的函数解析式 2 距离桥拱与桥面交点20米处的支架长为多少米 解析 1 建立如图所示的平面直角坐标系 设抛物线为y ax2 20 代入 60 0 得0 602a 20 解得a 抛物线的解析式为y x2 20 2 设距离桥拱与桥面交点20米处的点的坐标是 40 y 则y 402 20 米 距离桥拱与桥面交点20米处的支架长为米 题组二 最值问题1 已知二次函数y 3x2 12x 13 则函数y的最小值是 a 3b 2c 1d 1 解析 选c a 3 0 抛物线开口向上 函数有最小值 2 某广场有一喷水池 水从地面喷出 如图 以水平地面为x轴 出水点为原点 建立平面直角坐标系 水在空中划出的曲线是抛物线y x2 4x 单位 m 的一部分 则水喷出的最大高度是 a 4mb 3mc 2md 1m 解析 选a y x2 4x x 2 2 4 所以水喷出的最大高度为4m 3 出售某种手工艺品 若每个获利x元 一天可售出 8 x 个 则当x 元时 一天出售该种手工艺品的总利润y最大 解析 根据题意得 y x 8 x 化简得 y x2 8x 配方得y x 4 2 16 即当x 4时 y有最大值16 答案 4 4 2013 资阳中考 在关于x y的二元一次方程组中 1 若a 3 求方程组的解 2 若s a 3x y 当a为何值时 s有最值 解析 1 当a 3时 方程组为 2得5x 5 x 1 把x 1代入 得y 1 方程组的解为 2 对于方程组 得3x y a 1 s a a 1 a2 a 5 2013 威海中考 如图 已知抛物线y x2 bx c与x轴交于点a b ab 2 与y轴交于点c 对称轴为直线x 2 1 求抛物线的函数解析式 2 设p为对称轴上一动点 求 apc周长的最小值 3 设d为抛物线上一点 e为对称轴上一点 若以点a b d e为顶点的四边形为菱形 则点d的坐标为 解析 1 ab 2 对称轴为直线x 2 点a的坐标是 1 0 点b的坐标为 3 0 抛物线y x2 bx c与x轴交于点a b 1 3是方程x2 bx c 0的两个根 由根与系数的关系 得1 3 b 1 3 c b 4 c 3 抛物线的函数解析式为y x2 4x 3 2 连结ac bc bc交对称轴于点p 连结pa 由 1 知抛物线的函数解析式为y x2 4x 3 点a b的坐标是 1 0 3 0 点c的坐标为 0 3 点a b关于对称轴x 2对称 所以pa pb pa pc pb pc 当p点在对称轴上运动时 pa pc的最小值等于bc apc的周长的最小值 ac ap pc ac bc 3