2.5从力做的功到向量的数量积----教案.doc

2-5从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.体会平面向量的数量积与向量投影的关系. 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点 重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点:. 运算律的理解三.学法与教学用具自主性学习+探究式学习法教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】通过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？【新课引入】qsF在物理学中，力F对物体做的功为，q是F与s的夹角功W可以看成是向量F、s的某种运算有关，而这个运算结果的正负与这两个向量的夹角有关。从而引出两个向量的夹角的概念。【新课探究】1、两个向量的夹角定义：已知两个非零向量和，在平面上任取一点，作，则称做向量和的夹角，记作：，并规定：。练习1：在中已知A=45，B=50，C=85求下列向量的夹角：,，的夹角。OAB练习2：指出下列图中两向量的夹角，OAB 当时，我们说和互相垂直，记作：，规定：与任意向量垂直。2、射影 设是的夹角，叫做在方向上的射影。练习3：给出如下五个图形，指出在方向上的射影，并判断其正负。BAOBAOBAOOABAOB注：射影也是一个数量，不是向量。 当q为锐角时，射影为正值； 当q为钝角时，射影为负值； 当q为直角时，射影为0； 当q = 0时，射影为 |b|； 当q=180时，射影为 -|b|.3、向量的数量积（内积）定义：与是非零向量，叫做和的数量积（或内积）记作：，即： 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即。注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。 两个向量的数量积称为内积，写成，在向量运算中不是乘号，即不能省略，也不能用“”代替；今后要学到两个向量的外积（两向量的外积：大小是，方向是与与的方向都垂直），而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。当为锐角，即时，0当为钝角，即时，0当时，=0当时，当时， 当时，。反过来，当时，或或。两个向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积或的长度与在的方向上的投影。向量数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体位移s的数量积4、向量数量积的性质如果是单位向量，则*特别地：*（当且仅当时等号成立）练习4：已知，为单位向量，当它们的夹角为时，求在方向上的投影及已知，与的交角为，则 若，、共线，则 已知，且，则与的夹角为 练习5：判断下列各题是否正确。 若，则对任一向量，有。若，则对任意非零向量，有。若。若，则或。对任意向量有。若，且，则5、向量数量积的运算律 交换律：证：设夹角为，则， 结合律：证：若， ，若，qq1q2ABOA1B1C 分配率： 证：在平面内取一点，作, ， （即）在方向上的投影等于在方向上的投影和， 即： ， 即：OaAcbab注：对于三个向量，数量积不满足结合律，即不一定等于。这是因为表示一个与共线的向量；而表示一个与共线的向量，由于与不一定共线，从而不一定等于。利用数量积的运算律可以证明： 这与两个实数的相应运算公式，在形式上是完全一致的，但其运算的内涵不同。有些实数的运算性质不能类推到向量的数量积运算。如在实数运算中，若，则有，但对于向量，该运算性质不成立。事实上，若，则有，即，这表明向量与互相垂直，从而不一定有。6.典型例题例1.已知：解：例2.已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求的夹角。解：由 两式相减：代入或得：设的夹角为q，CABDab则 例3.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。 证：设=, = ABCD为菱形 = 即菱形对角线互相垂直。7、归纳小结平面向量的数量积及其性质；理