2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系课件 新人教A版必修2

4 3空间直角坐标系 1 空间直角坐标系及相关概念 1 空间直角坐标系 从空间某一定点引三条两两垂直且有相同单位长度的数轴 这样就建立了空间直角坐标系oxyz 2 相关概念 叫做坐标原点 叫做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 分别称为 平面 平面 平面 x轴 y轴 z轴 点o x轴 y轴 z轴 xoy yoz zox 2 右手直角坐标系在空间直角坐标系中 让右手拇指指向 的正方向 食指指向 的正方向 如果中指指向 的正方向 则称这个坐标系为右手直角坐标系 3 空间一点的坐标空间一点m的坐标可以用 来表示 叫做点m在此空间直角坐标系中的坐标 记作 其中 叫点m的横坐标 叫点m的纵坐标 叫点m的竖坐标 x轴 y轴 z轴 有序实数组 x y z 有序实数组 x y z m x y z x y z 1 判一判 正确的打 错误的打 1 空间直角坐标系中 xoz平面上点的坐标满足z 0 2 关于坐标平面yoz对称的点的坐标其纵坐标 竖坐标保持不变 横坐标相反 3 平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例 4 将距离公式中两点的坐标顺序互换 结果不变 答案 1 2 3 4 3 思一思 结合空间两点间的距离公式 探究式子 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2的几何意义是什么 解析 式子 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2表示两点p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 距离的平方 求空间中点的坐标 解题探究 1 根据空间直角坐标系中点的坐标定义去求解 2 根据中点坐标公式求解 解析 1 显然d 0 0 0 因为点a在x轴的正半轴上且 ad 3 所以a 3 0 0 同理 可得c 0 4 0 d1 0 0 5 因为点b在坐标平面xoy内 bc cd ba ad 所以b 3 4 0 同理 可得a1 3 0 5 c1 0 4 5 与b的坐标相比 点b1的坐标中只有竖坐标不同 bb1 aa1 5 则b1 3 4 5 8 1 题目若未给出坐标系 建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内 充分利用几何图形的对称性 2 求某点的坐标时 一般先找这一点在某一坐标平面上的射影 确定其两个坐标 再找出它在另一轴上的射影 或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号 确定第三个坐标 1 画一个正方体abcd a1b1c1d1 以a为坐标原点 以棱ab ad aa1所在的直线为坐标轴 取正方体的棱长为单位长度 建立空间直角坐标系 1 求各顶点的坐标 2 求棱c1c中点的坐标 3 求面aa1b1b对角线交点的坐标 例2 求点a 1 2 1 关于坐标平面xoy及x轴的对称点的坐标 解题探究 求对称点的坐标 可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长 使得垂足为所作线段的中点 再根据有关性质即可写出对称点的坐标 求空间中对称点的坐标 8 1 求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题 要掌握对称点的变化规律 才能准确求解 对称点的问题常常采用 关于谁对称 谁保持不变 其余坐标相反 这个结论 2 空间直角坐标系中 任一点p x y z 的几种特殊对称点的坐标如下 关于原点对称的点的坐标是p1 x y z 关于x轴 横轴 对称的点的坐标是p2 x y z 关于y轴 纵轴 对称的点的坐标是p3 x y z 关于z轴 竖轴 对称的点的坐标是p4 x y z 关于xoy坐标平面对称的点的坐标是p5 x y z 关于yoz坐标平面对称的点的坐标是p6 x y z 关于xoz坐标平面对称的点的坐标是p7 x y z 2 在空间直角坐标系中 点p 2 1 4 1 求点p关于x轴的对称点的坐标 2 求点p关于xoy平面的对称点的坐标 3 求点p关于点m 2 1 4 的对称点的坐标 解析 1 由于点p关于x轴对称后 它在x轴的分量不变 在y轴 z轴的分量变为原来的相反数 所以对称点为p1 2 1 4 2 由于点p关于xoy平面对称后 它在x轴 y轴的分量不变 在z轴的分量变为原来的相反数 所以对称点为p2 2 1 4 3 设对称点为p3 x y z 则点m为线段pp3的中点 由中点坐标公式 可得x 2 2 2 6 y 2 1 1 3 z 2 4 4 12 所以p3 6 3 12 例3 1 已知a 1 2 1 b 2 0 2 在x轴上求一点p 使 pa pb 则p点坐标为 2 在xoy平面内的直线x y 1上确定一点m 使它到点n 6 5 1 的距离最小 解题探究 1 根据点p的位置 设出它的坐标 根据条件列出关系式 再化简求解 2 设出点m坐标 利用两点间距离公式表示出 mn 然后求最值 空间两点间的距离公式 8求空间两点间的距离时 一般使用空间两点间的距离公式 应用公式的关键在于建立适当的坐标系 确定两点的坐标 确定点的坐标的方法视具体题目而定 一般说来 要转化到平面中求解 有时也利用几何图形的特征 结合平面直角坐标系的知识确定 3 已知两点p 1 0 1 与q 4 3 1 1 求p q之间的距离 2 求z轴上的一点m 使 mp mq 示例 如图所示 在底面是菱形的直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面的边长为a且 a1b1c1 120 侧棱长为2a 在空间直角坐标系中确定点a1 d c的坐标 空间点的坐标的求法 错因 错解主要是没能正确地建立坐标系 直接想当然地把b1a1 b1c1 b1b当成了x轴 y轴 z轴 警示 求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系 这也是正确利用坐标求解此类问题的前提 建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直 并且符合右手法则 1 结合长方体的长宽高理解点的坐标 x y z 培养立体思维 增强空间想象力 2 学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则 切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系 3 在导出空间两点间的距离公式中体会转化化归思想的应用 突出了化空间为平面的解题思想 1 在空间直角坐标系中 点m的坐标是 4 7 6 则点m关于y轴对称的点在xoz平面上的射影的坐标为 a 4 0 6 b 4 7 6 c 4 0 6 d 4 7 0 答案 c 解析 点m关于y轴对称的点是m 4 7 6 点m 在xoz平面上的射影的坐标为 4 0 6 2 在空间直角坐标系中 点p 3 4 5 与q 3 4 5 两点的位