2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系课件 新人教A版必修2

2 1 3空间中直线与平面之间的位置关系2 1 4平面与平面之间的位置关系 1 直线与平面的位置关系 无数个 一个 没有 2 两个平面的位置关系 没有公共点 l 无数 1 判一判 正确的打 错误的打 1 若直线l与平面 不相交 则直线l与平面 平行 2 如果直线a b满足a b 那么a b 3 如果直线a b和平面 满足a b a b 那么b 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 点a b c 则平面abc与平面 的位置关系是 2 空间三个平面如果每两个都相交 那么它们的交线有 条 答案 1 相交 2 1或3 3 思一思 已知平面 直线a b且 a b 则直线a与直线b具有怎样的位置关系 解析 a与b有两种位置关系 平行或异面 因为a b分别在两个平行平面内 所以a与b没有公共点 故平行或异面 例1 下列命题中 正确命题的个数是 如果a b是两条平行直线 那么a平行于经过b的任何一个平面 如果直线a和平面 满足a 那么a与平面 内的任何一条直线平行 如果直线a b满足a b 则a b 如果直线a b和平面 满足a b a b 那么b 直线与平面位置关系的判断与应用 如果平面 的同侧有两点a b到平面 的距离相等 则ab a 0b 1c 2d 3 解题探究 借助几何图形 根据直线与平面的位置关系对每一个说法逐一判断 答案 c 解析 如图 在正方体abcd a b c d 中 aa bb aa 在过bb 的平面abb a 内 故 不正确 aa 平面bcc b bc 平面bcc b 但aa 不平行于bc 故 不正确 aa 平面bcc b a d 平面bcc b 但aa 与a d 相交 故 不正确 中 假设b与 相交 因为a b 所以a与 相交 这与a 矛盾 故b 故 正确 显然正确 故选c 8空间中直线与平面只有三种位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 在判断直线与平面的位置关系时 这三种情形都要考虑到 避免疏忽或遗漏 另外 我们可以借助空间几何图形 把要判断关系的直线 平面放在某些具体的空间图形中 以便于正确作出判断 避免凭空臆断 1 过三棱柱abc a1b1c1的任意两条棱的中点作直线 其中与平面abb1a1平行的直线共有 条 答案 6 解析 过三棱柱abc a1b1c1的任意两条棱的中点作直线 记ac bc a1c1 b1c1的中点分别为e f e1 f1 则直线ef e1f1 ee1 ff1 e1f ef1均与平面abb1a1平行 故符合题意的直线共6条 例2 1 如果在两个平面内分别有一条直线 这两条直线互相平行 那么两个平面的位置关系一定是 a 平行b 相交c 平行或相交d 不能确定 2 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 平面与平面的位置关系 解题探究 1 分别画出满足条件的图形 判断两个平面的位置关系 2 以长方体为模型观察 得出直线与这两个平面的关系 答案 1 c 2 至少与一个平面平行 8两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似 可以从有无公共点区分 如果两个平面有一个公共点 那么由公理3可知 这两个平面相交于过这个点的一条直线 如果两个平面没有公共点 那么就说这两个平面互相平行 这样我们可以得出两个平面的位置关系 平行 没有公共点 相交 有且只有一条公共直线 若平面 与 平行 记作 若平面 与 相交且交线为l 记作 l 2 在底面为正六边形的六棱柱中 互相平行的面视为一组 则共有 组互相平行的面 与其中一个侧面相交的面共有 个 答案 46 解析 六棱柱的两个底面互相平行 每个侧面与其直接相对的侧面平行 故共有4组互相平行的面 六棱柱共由8个面围成 在其余的7个面中 与某个侧面平行的面有1个 其余6个面与该侧面均为相交的关系 例3 已知 直线a b a 平面 p 求证 直线b与平面 相交 解题探究 解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语言 即依据题意作图 然后根据已知条件证明 若直接证明较困难 则宜采用反证法 线面位置关系的证明 解析 如右图 a b a和b确定平面 a p 平面 和平面 相交于过p点的直线l 在平面 内 l和两条平行直线a b中的一条直线a相交 l必和b相交于q 即b l q 又b不在平面 内 若b在 内 则 和 都过两相交直线b和l 因此 和 重合 l在 内 故直线b和平面 相交 8应用反证法证题时 要全面考虑反面的各种情况 逐一推出矛盾进行排除 具体步骤为 假设结论不成立 归谬 否定假设 肯定结论 3 如果一条直线经过平面内的一点 又经过平面外的一点 则此直线和平面相交 已知 a a a b b a 求证 直线a与平面 相交 证明 假设直线a和平面 不相交 则a 或a 假设a 就与a a a矛盾 假设a 就与b b a矛盾 假设不成立 直线a与平面 相交 示例 设p是异面直线a b外的一点 则过p与a b都平行的平面 a 有且只有一个b 恰有两个c 没有或只有一个d 有无数个 判断位置关系时考虑不全面致误 错因 错解是因为对空间概念理解不透彻 对p点位置没有做全面地分析 只考虑了一般情况 而忽略了特殊情形 事实上 当直线a 或b 与点p确定的平面恰与直线b 或a 平行时 与a b都平行的平面就不存在了 正解 c 警示 对于空间中的线面和面面位置关系问题 应注意结合实例 全面考虑 认真分析 才能避免判断失误 1 正方体的六个面中互相平行的平面有 a 2对b 3对c 4对d 5对 答案 b 解析 正方体中相对的3对平面相互平行 2 已知a b c为三条不重合的直线 为两个不重合的平面 a c b c a b a c c a a a a b a b a 其中正确命题的个数是 a 2b 3c 4d 5 答案 a 解析 由公理4 知 正确 对于 可能a 也可能a 对于 与 可能平行 也可能相交 对于 若a与 相交 由b 可得a b相交或异面 不满足a b 故a 3 平面 平面 直线a 则a与 的位置关系是 答案 a 4 三个平面 如果 a b且直线c c b 1 判断c与 的位置关系 并说明理