2.4函数的综合应用

第二章 函数四 函数的综合应用【考点阐述】函数的综合应用【考试要求】应用函数知识思想解决一些简单的实际问题。【考题分类】（一）选择题（共9题）1.（福建卷理10）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是A. B C D 解析本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得. 【答案】：D2.（福建卷文11）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是A. B. C. D. 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。3. （广东卷理8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面【解析】由图像可知，曲线比在0、0与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.（海南宁夏卷理12文12）用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,设f（x）=min, x+2,10-x (x 0),则f（x）的最大值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【解析】画出y2x，yx2，y10x的图象，如右图，观察图象可知，当0x2时，f（x）2x，当2x3时，f（x）x2，当x4时，f（x）10x，f（x）的最大值在x4时取得为6，故选C。.5. （湖南卷文8）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 取函数。当=时，函数的单调递增区间为A B C D 解: 函数，作图易知，故在上是单调递增的，选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6. （江西卷理12）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A B C D不能确定w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】，选B7. （江西卷文11）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 【解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.8.（山东卷理6文6）函数的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.9.（天津卷文8）设函数则不等式的解集是（ ）A B C D 【解析】由已知，函数先增后减再增当，令解得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当，故 ，解得【答案】A【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。（二）填空题（共3题）1.（上海卷理14）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由得：（x3）2（y2）213，它的图象是以（3，2）为圆心，为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C相切的直线为ykx，当0时，k，此时直线的倾斜角为，即tan，当切线与y轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90，则tan（90），即【答案】2. （上海卷理13）某地街道呈现东西、南北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）_为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 【解析】设发行站的位置为，零售点到发行站的距离为，这六个点的横纵坐标的平均值为，记A（2，），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3,3）处z取得最小值。【答案】（3，3）3. （上海卷文14）某地街道呈现东西、南北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。【解析】设发行站的位置为，零售点到发行站的距离为，这五个点的横纵坐标的平均值为，记A（1.2，4），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3,3）处z取得最小值。【答案】（3，3）（三）解答题（共2题）1.（江苏卷20）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分（1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.2.（上海卷理22）已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。（1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。【解析】（1）解，函数的反函数是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而其反函数为 故函数不满足“1和性质”（2）设函数满足“2和性质”，.6