高中数学第一章1.6三角函数模型的简单应用知识巧解学案.docx

1.6 三角函数模型的简单应用疱工巧解牛知识巧学一、函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系 绝对值仅对函数值施加影响，根据绝对值的意义有要画出y=|f(x)|的图象，只需先画出y=f(x)的图象，再把x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去(翻折后x轴下方的图象不再存在)，这样原有的x轴上半平面的部分及翻折上去的部分一起便构成了y=|f(x)|的图象.二、数学建模 解决实际问题就是要把实际问题变成数学问题，通过解数学问题，获得答案，再反过来解释实际问题，这就是一个数学建模的过程. 一般来说，数学建模过程可用下面的框图表示：图1-6-1 当问题与函数图象有关时，可先建立适当坐标系，把题目所给的每一对数据作为一个点的坐标，在坐标系中描出这些点，并用光滑曲线把这些点依次连结起来，观察所画曲线、选用适当函数解析式，设法求出解析式中各参数，并将已知数据代入求得的解析式进行检验.如果等式不成立，则需修改解析式；如果等式成立，则该函数解析式就是本题的数学模型.这时就可以利用这个数学模型解决题目的其他问题了. 函数模型的应用实例主要包括三个方面：直接利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性函数模型解决实际问题；建立拟合函数模型解决实际问题.误区警示 建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析.典题热题知识点一 确定函数解析式例1 若函数y=Asin(x+)(A0,0,02)的最小值为-2，周期为，且它的图象过点(0,)，求此函数的表达式.思路分析：根据条件可先求出A，再由周期得出，用特殊点求出.解：由题意得A=2,=3，故设y=2sin(3x+)，图象过点(0,),sin=,02.=或=.函数的表达式为y=2sin(3x+)或y=2sin(3x+).例2 图1-6-2为y=Asin(x+)的一段图象，求其解析式.图1-6-2思路分析：本题主要考查正弦函数的图象与性质.首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx的图象)，所以A0；若以M点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx的图象)，所以A0.而可由相位来确定.解：以N为第一个零点，则A=，T=2(-)=.=2，此时解析式为y=sin(2x+).点N(，0)为y=sin(2x+)的第一个零点，2+=0=.所求解析式为y=sin(2x+).巧解提示：以点M(，0)为第一个零点，则A=，=2，解析式为y=sin(2x+).点M(，0)为y=3sin(2x+)=0的第一个零点，将点M的坐标代入得2+=0=.所求解析式为y=sin(2x-).方法归纳 (1)参数A与是改变曲线形状的量，与b是改变曲线位置的量.它们一起决定了曲线的形状与位置.(2)确定解析式y=Asin(x+)+b中的参数A、b的关键是明确该函数同y=sinx的关系；同时明确“五点法”作草图的过程及两个图象上相对应点间的关系.知识点二 函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系例3 画出下列函数的图象并观察其周期.(1)y=|cosx|；(2)y=|tanx|.思路分析：显然y=|cosx|，y=|tanx|的图象分别是把y=cosx，y=tanx的图象在x轴下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.解：(1)y=|cosx|的图象如图1-6-3所示.图1-6-3从图中可以看出该函数是以为周期的函数.(2)y=|tanx|的图象如图1-6-4所示.图1-6-4从图中可以看出该函数是以为周期的函数.例4试画出下列函数的图象并观察其周期.(1)y=sin|x|；(2)y=tan|x|.思路分析：显然这两个函数都是偶函数，其图象应关于y轴对称.根据绝对值的意义可知x0的部分应是y=sinx，y=tanx右半平面的部分.解：(1)y=sin|x|的图象如图1-6-5所示.图1-6-5从图中可以看出y=sin|x|不再是周期函数.(2)y=tan|x|的图象如图1-6-6所示.图1-6-6从图中可以看出y=tan|x|的图象也不再是周期函数.方法归纳 (1)一般地，对于函数y=f(|x|)而言，若它的定义域是关于原点对称的，则它是偶函数，它的图象必关于y轴对称，因为当x0时，|x|=x，所以函数y=f(|x|)的图象在y轴右半平面的部分(包括同y轴的交点)是函数y=f(x)在x0时的部分，左半平面的部分应是右半平面的部分沿y轴翻折而得到的.(2)函数y=|Asin(x+)|的图象是保留y=Asin(x+)的上半平面部分，而把下半平面的部分沿x轴翻折上去而得到的.对于y=|Acos(x+)|、y=|tan(x+)|的图象也是如此.函数y=|sin(x+)|的周期变为，而y=|tan(x+)|的周期仍是.知识点三 建立数学模型解决实际问题例5 某港口水深y(米)是时间t(0t24,单位：小时)的函数，下面是时间与水深的数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0图1-6-7 根据上述数据描出的曲线如图1-6-7所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦函数y=Asint+b的图象.(1)试根据以上数据，求出y=Asint+b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天(24小时)安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？思路分析：观察问题所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，可依据给出的数据与图象确定函数解析式中的参数A,b的值.解：(1)由表中数据可知b=10，A=3.由T=12,得=.所以y=3sint+10.(2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5米.令y=3sint+1011.5，可得sint.2k+t2k+,kZ.12k+1t12k+5,kZ.取k=0，则1t5，取k=1，则13t17；而取k=2，则25t29(不合题意).在凌晨1点至5点和下午13点至17点，该船能够安全进港.船舶要在一天之内在港内停留时间最长，就应在凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长不能超过16小时.例6 如图1-6-8，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).图1-6-8(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象.思路分析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力.解：(1)如图1-6-9，以O为原点，过点O的切线为x轴，建立直角坐标系.图1-6-9设点A的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.设OO1A=，则cos=,y=-2cos+2.又=t即,所以y=-2cost+2,h=f(t)=-2cost+2.5.(2)函数h=f(t)=-2cost+2.5的图象如图1-6-10.图1-6-10问题探究方案设计探究问题 根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界期和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置).请根据自己的出生日期，绘制自己的情绪和智力曲线.探究思路：从生日前一天起，连续一个月记录自己每天在情绪、体力、智力方面的表现，之后绘制自己的情绪和智力曲线.并比较生日相同的同学所绘制的情绪和智力曲线是否相同，通过实际操作，研究情绪和智力曲线对每个同学的指导是否有效.探究结论：根据实际情况得出结论，总结在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力.材料信息探究 在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落.一般地，海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”.由于潮汐与港口的水深有密切的关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用.一般地，船涨潮时驶入航道，靠近码头，卸货后，在落潮时回到海洋.某港口工作人员在2006年8月1日从0时至24时记录的时间t(小时)与水深d(米)的关系如下：t03691215182124d57.552.557.552.55问题 你能不能选用一个函数来近似地描述这个港口水深与时间的函数关系？探究过程：观察上表中所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表中的数据作出图象，从图象可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用一个类似于正弦函数的函数来刻画，此函数可记为y=Asin(x+)+k(A0,0,0,). 由上表可知，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，周期为12.则有则A=，k=5，12=,即=. 由上表还可得点(3，7.5)在函数的图象上，则有7.5=sin(3+)+5，即sin(+)=1，再由0,得=0. 由上可得函数的解析式为y=,x0,24.探究结论：上表中时间与水深的函数解析式可以近似地用函数y=,x0,24来描述.思想方法探究问题 怎样求方程sinx=解的个数？探究过程：根据我们所学的知识，还不能解出这个方程.这时不妨采用数形结合的方法，把求方程根的个数的问题转化为求函数y=sinx与y=的交点个数的问题.此外，解题时还应注意两个函数的奇偶性及图象的特性.具体方法是：作出当x0时，y=sinx与y=的图象，由图可知它们有4个交点(包括原点).又因为y=sinx与y=都是奇函数，它的图象