2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2

2 3 3直线与平面垂直的性质2 3 4平面与平面垂直的性质 1 直线与平面垂直的性质定理 1 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 2 图形语言 平行 2 平面与平面垂直的性质定理 1 文字语言 两个平面垂直 则 垂直于 的直线与另一个平面 2 图形语言 a b 一个平面内 交线 垂直 l a a l 线面 1 判一判 正确的打 错误的打 1 若直线a 平面 直线b 平面 则直线b 直线a 2 若直线a 平面 直线a 直线b 则直线b 平面 3 平面 平面 l 若a 平面 且a l 则a 平面 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 平面 平面 l n n l 直线m 则直线m与n的位置关系是 2 在长方体abcd a1b1c1d1中 ac与bd相交于o a1c1与b1d1相交于o1 则oo1与平面a1b1c1d1的位置关系是 答案 1 平行 2 垂直 3 思一思 设a b分别在长方体abcd a b c d 两个不同的面内 欲使a b 问a b应满足什么条件 解析 a b满足下面条件中的任何一个都能使a b 1 a b同垂直于长方体的一个面 2 a b分别在长方体两个相对的面内且共面 3 a b平行于同一条棱 例1 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m是ab上一点 n是a1c的中点 mn 平面a1dc 求证 mn ad1 直线与平面垂直的性质定理的应用 解题探究 要证线线平行 根据条件 mn 平面a1dc 可联想到线面垂直的性质定理 故只需证ad1 平面a1dc即可 证明 四边形add1a1为正方形 ad1 a1d 又cd 平面add1a1 cd ad1 a1d cd d ad1 平面a1dc 又mn 平面a1dc mn ad1 8证明线线平行常有如下方法 1 利用线线平行定义 证共面且无公共点 2 利用平行公理 平行于同一直线的两条直线平行 3 利用线面平行的性质定理 把证线线平行转化为证线面平行 4 利用线面垂直的性质定理 把证线线平行转化为证线面垂直 5 利用面面平行的性质定理 把证线线平行转化为证面面平行 1 如图 已知平面 平面 l ea 垂足为a eb 垂足为b 直线a a ab 求证 a l 证明 因为ea l 即l 所以l ea 同理 l eb 又ea eb e 所以l 平面eab 因为eb a 所以eb a 又a ab eb ab b 所以a 平面eab 所以a l 例2 如图 四棱锥v abcd的底面是矩形 侧面vab 底面abcd vb 平面vad 求证 平面vbc 平面vac 平面与平面垂直的性质定理的应用 解题探究 灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化 证明 平面vab 平面abcd bc ab 平面vab 平面abcd ab bc 平面abcd bc 平面vab va 平面vab bc va 又vb 平面vad vb va 又vb bc b va 平面vbc va 平面vac 平面vbc 平面vac 8 1 证明或判定线面垂直的常用方法有 线面垂直的判定定理 面面垂直的性质定理 若a b a 则b a b为直线 为平面 若a 则a a为直线 为平面 2 两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直 方法是在其中一个面内作 找 与交线垂直的直线 2 如图 已知v是 abc所在平面外一点 vb 平面abc 平面vab 平面vac 求证 abc是直角三角形 证明 过b作bd va于d 平面vab 平面vac bd 平面vac bd ac vb 平面abc vb ac ac 平面vab ac ba 即 abc是直角三角形 例3 如图 已知平面pab 平面abc 平面pac 平面abc ae 平面pbc e为垂足 1 求证 pa 平面abc 2 当e为 pbc的垂心时 求证 abc是直角三角形 线线 线面 面面垂直的综合应用 解题探究 1 借助于平面pac的垂线 转化为线线垂直证明 2 借助于ab 平面pac进行证明 证明 1 在平面abc内任取一点d 作df ac于点f 作dg ab于点g 平面pac 平面abc且交线为ac df 平面pac pa 平面pac df pa 同理 dg pa dg df d pa 平面abc 2 连接be并延长交pc于点h e是 pbc的垂心 pc bh ae是平面pbc的垂线 pc ae bh ae e pc 平面abe pc ab pa 平面abc pa ab pa pc p ab 平面pac ab ac 即 abc是直角三角形 证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 另一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故可考虑面面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时 要注意以下三点 两个平面垂直 直线必须在其中一个平面内 直线必须垂直于它们的交线 3 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 2 平面bef 平面pcd 证明 1 平面pad 底面abcd 且pa垂直于这两个平面的交线ad pa 底面abcd 2 ab cd cd 2ab e为cd的中点 ab de 且ab de 四边形abed为平行四边形 又 ab ad be cd ad cd 由 1 知pa 底面abcd pa cd cd 平面pad cd pd e和f分别是cd和pc的中点 pd ef cd ef cd 平面bef 平面bef 平面pcd 示例 如图所示 四棱锥p abcd的底面是一个直角梯形 ab cd ba ad cd 2ab pa 底面abcd e是pc的中点 则平面ebd能垂直于平面abcd吗 请说明理由 考虑问题不全面 导致证明过程不严谨 错解 平面ebd不能垂直于平面abcd 理由如下 假设平面ebd垂直于平面abcd 过e作eo bd于o 连接ao co eo 平面ebd eo bd 平面ebd 平面abcd bd eo 平面abcd pa 平面abcd eo pa e是pc的中点 o是ac的中点 ab cd abo cdo ao oc ab cd 这与cd 2ab矛盾 假设不成立 故平面ebd不能垂直于平面abcd 错因 错误的原因是默认了a o c三点共线 而a o c三点若不共线 则 abo cdo不成立 事实上 很容易证a o c三点共线 由于a o c是pc上三点p e c在平面abcd上的投影 故p e c三点的投影均在直线ac上 故a o c三点共线 补上这一点证明就完整了 正解 平面ebd不能垂直于平面abcd 理由如下 假设平面ebd垂直于平面abcd 过e作eo bd于o 连接ao co eo 平面ebd eo bd 平面ebd 平面abcd bd eo 平面abcd pa 平面abcd eo pa a o c是pc上三点p e c在平面abcd上的投影 p e c三点的投影均在直线ac上 a o c三点共线 e是pc的中点 o是ac的中点 ab cd abo cdo ao oc ab cd 这与cd 2ab矛盾 假设不成立 故平面ebd不能垂直于平面abcd 警示 在垂直的判定定理和性质定理中 有很多限制条件 如 相交直线 线在面内 平面经过一直线 等 这些条件一方面有很强的约束性 另一方面又为证明指出了方向 在利用定理时 既要注意定理的严谨性 又要注意推理的规律性 1 对直线与平面垂直的性质定理的三点说明 1 性质定理的前提是直线与平面垂直 2 性质定理的实质是平行与垂直的转化 3 性质定理的作用是证明线线平行 2 直线与平面垂直的另两条性质 1 l l 则 2 a b a 则b 3 对平面与平面垂直的性质定理的三点说明 1 性质定理成立的三个条件 两个平面互相垂直 直线在其中一个平面内 直线与两平面的交线垂直 2 性质定理的实质是由面面垂直得线面垂直 故可用来证明线面垂直 3 条件中含有面面垂直时 可以利用此定理转化为线面垂直 再转化为线线垂直 1 2019年青海西宁模拟 设l是直线 是两个不同的平面 则下列说法正确的是 a 若l l 则 b 若l l 则 c 若 l 则l d 若 l 则l 答案 b 解析 对于a 两平面可能平行也可能相交 对于c 直线l可能在 内也可能平行于 对于d 直线l可能在 内或平行于 或与 相交 2 如图所示 三棱锥p abc中 平面pab 平面abc pa pb ad db 则 a pd 平面abcb pd 平面abcc pd与平面abc相交但不垂直d pd 平面abc 答案 b 解析 因为ad db pa pb 所以pd ab 又平面pab 平面abc 平面pab 平面abc ab 所以pd 平面abc 3 如图 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 已知平面aa1c1c 平面abcd 且ab bc ad cd 则bd与cc1 a 平行b 共面c 垂直d 相交 答案 c 解析 在四边形abcd中 ab bc ad cd bd ac 平面aa1c1c 平面abcd 平面aa1c1c 平面abcd ac bd 平面abcd bd 平面aa1c1c 又cc1 平面aa1c1c bd cc1 故选c 4 如图 三棱锥p