2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人教A版选修1-1

3 3 3函数的最大 小 值与导数 1 最大值如果在函数定义域i内存在x0 使得对任意的x i 总有 则称f x0 为函数在 的最大值 f x f x0 定义域i上 2 函数最值存在的条件一般地 如果在区间 a b 上的函数f x 的图象是一条 的曲线 那么f x 必有最大值和最小值 此性质包括两个条件 1 给定函数的区间是 2 函数图象在区间上的每一点必须 注意 函数的最值是比较整个 的函数值得出的 函数的极值是比较 的函数值得到的 连续不断 闭区间 连续不间断 定义域 极值点附近 3 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求f x 在 a b 内的 2 将f x 的各极值与 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 极值 端点处的函数值f a f b 最大 最小 3 函数f x x3 3x x 1 a 有最大值 但无最小值b 有最大值 也有最小值c 无最大值 但有最小值d 既无最大值 也无最小值 答案 d4 函数f x lnx x在 0 e 上的最大值为 答案 1 解题探究 函数在 a b 内的最值即求函数在 a b 内的极值 然后与端点处函数值进行比较 求函数的最值 8极值与最值是不一样的概念 在求闭区间上的最值时 切勿忘记端点的函数值 利用最值求参数 8对于含参数问题 根据题意找准最值来求得 2 已知函数f x ax3 6ax2 b在区间 1 2 上的最大值是3 最小值是 29 求a b的值 解析 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 在区间 1 2 上 令f x 0 得x 0 由题知a 0 当a 0时 函数f x 在x 0处取得极大值 又f 0 b f 1 7a b f 2 16a b 故f 0 f 1 f 2 所以f 0 3 f 2 29 解得a 2 b 3 当a 0时 函数f x 在x 0处取得极小值且f 0 f 1 f 2 所以f 0 29 f 2 3 解得a 2 b 29 解题探究 1 解f x 0 f x 0即可 2 首先求出f x 在区间 2 2 内的值域 再令f x min m即可 与最值有关的综合问题 8在求解与最值有关的函数综合问题时 要发挥导数的解题功能 同时也要注意对字母的分类讨论 而有关恒成立问题 一般是转化为求函数的最值问题 3 已知f x x3 x2 x 3 x 1 2 f x m 0恒成立 则实数m的取值范围为 答案 5 示例 求函数f x 4x3 3x2 36x 5在区间 2 2 上的最大值和最小值 错解 f 2 57 f 2 23 最大值为57 最小值为 23 错因分析 注意不要只求区间端点处的函数值 这是较易出现错误的地方 求最值易错 警示 最值是指函数在自变量指定的取值范围内或隐含定义域内的最大值和最小值 要求出极值和区间端点处的函数值再比较 1 正确理解函数的极值与最值概念 弄清它们的区别与联系 2 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值 3 求函数的最值以导数为工具 先找到极值点 再求极值和区间端点函数值 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 2018年辽宁鞍山校级一模 已知函数f x x3 3x 1 若f x 在区间 3 2 上的最大值为m 最小值为n 则m n a 20b 18c 3d 0 答案 a 解析 函数f x x3 3x 1的导数为f x 3x2 3 令f x 0 解得x 1 所以1 1为函数f x 的极值点 因为f 3 19 f 1 1 f 1 3 f 2 1 所以在区间 3 2 上 m f x max 1 n f x min 19 则m n 20 故选a 4 2019年北京模拟 函数f x x3 ax 2在区间 1 上是增函数 则实数a的取值范围是 答案