空间解析几何-第2章 空间的平面与直线ppt课件

2020 4 8 解析几何 第2章空间的平面与直线 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 法线向量的特征 垂直于平面内的任一向量 已知 设平面上的任一点为 必有 一 平面的点法式方程 2 1 1平面的方程 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程 不在平面上的点都不满足上方程 上方程称为平面的方程 平面称为方程的图形 其中法向量 已知点 解 所求平面方程为 化简得 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 例3已知两点M 1 2 3 与N 3 0 1 求线段MN的垂直平分面方程 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 二 平面的一般式方程 为一平面 平面一般式方程的几种特殊情况 平面通过坐标原点 平面通过轴 平面平行于轴 平面平行于坐标面 类似地可讨论情形 类似地可讨论情形 平面的一般方程 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 例5求通过点M 2 1 1 与N 3 2 1 且平行于z轴的平面的方程 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 向量平行的充要条件 解 化简得 令 所求平面方程为 或 2020 4 8 已知平面上一点和不共线两个向量 求通过该点与两向量平行的平面 点位式 坐标式参数方程点位式 2 1 3或2 1 4 坐标式参数方程 2 1 2 2020 4 8 已知不共线的三点 求通过三点的平面 三点式方程 2 1 6 向量式法式方程 2 1 10 坐标式法式方程 2 1 11 以上共介绍了多少种方法 哪些方法适用于仿射坐标系 哪些方法适用于直角坐标系 练习1 1 通过点M 3 1 1 和N 1 1 0 且平行于矢量 1 0 2 的平面 2 通过点M 1 5 1 和N 3 2 2 且垂直于xOy坐标面的平面 3 已知四点 5 1 3 B 1 6 2 C 5 0 4 D 4 0 6 求通过直线AB且平行于直线CD的平面 并求通过直线AB且与三角形ABC所在平面垂直的平面 4 过点M 3 2 4 且在x轴和y轴上截距分别为 2和 3的平面5 已知两点M1 3 1 2 和M2 4 2 1 通过M1且垂直于M1M2的平面6 已知平面上三点A 3 1 2 B 4 2 1 C 3 2 4 求平面方程 求通过直线 且在y轴与z轴上截距相等的平面方程 定义 空间直线可看成两平面的交线 空间直线的一般方程 注 两平面不平行 一 空间直线的一般方程 2 1 2空间直线的方程 方向向量的定义 如果一非零向量平行于一条已知直线 这个向量称为这条直线的方向向量 二 空间直线的对称式方程 直线的对称式方程 标准方程 点向式方程 因此 所求直线方程为 例1求过点 1 0 2 且与平面3x 4y z 6 0平行 又与直线垂直的直线方程 解 设所求线的方向向量为 已知平面的法向量 已知直线的方向向量 取 三 空间直线的参数式方程 令 方向向量的余弦称为直线的方向余弦 直线的参数方程 由直线的对称式方程 例2用对称式方程及参数方程表示直线 解 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 得参数方程 令 解 所以交点为 所求直线方程 2020 4 8 四 空间直线的两点式方程 2 1 15 另 直角坐标系下的参数式和对称式 即直线l的方向向量可取成单位向量 方向余弦 2020 4 8 2 2 1空间两平面的相关位置 相交平行重合 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 所成锐角 称为直线与平面的夹角 2 2 2直线与平面的相关位置 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系 解 为所求夹角 直线与平面的交点 分析 关键是求得直线上另外一个点M1 M1在过M且平行于平面P的一个平面P1上 待求直线又与已知直线相交 交点既在P1上 又在L上 因此是L与P1的交点 例2求过点M 1 2 3 且平行于平面 又与直线 相交的直线方程 解过M作平行于平面P的一个平P1 求平面P1与已知直线L的交点 P1 即P1 定理3 7 1判定空间两直线的相关位置的充要条件为 异面 相交 平行 重合 一 空间两直线的相关位置 2 2 3空间两直线的相关位置 例求通过点且与两直线都相交的直线的方程 解 设直线方程为 所以直线方程为 定义 直线 直线 两直线的方向向量的夹角或其补角称之为该两直线的夹角 两直线的夹角公式 空间两直线的夹角 两直线的位置关系 直线 直线 例如 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N 令 M N L 代入平面方程得 交点 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 2020 4 8 2 3平面束 共轴平面束平行平面束求平面方程的另一种方法 平面束法 2020 4 8 如果直线L用一般式方程表示设 为不同时为零的任意实数 则 就表示以L为轴的平面束方程 2020 4 8 2020 4 8 2020 4 8 P1 于是 点到直线的距离公式 2 4 1空间直线与点的相关位置 解 解 2 4 2平面与点的相关位置 点到平面距离公式 在第一个平面内任取一点 比如 0 0 1 平面划分空间问题 空间上任何一点M对平面的离差例题已知平面 x 2y 3z 4 0 点O 0 0 0 A 1 1 4 B 1 0 2 C 2 0 2 D 0 0 4 E 1 3 0 F 1 0 1 试区分上述各点哪些在平面的某一侧 哪些在平面的另一侧 哪些点在平面上 练习2 已知四面体的四个顶点为S 0 6 4 A 3 5 3 B 2 11 5 C 1 1 4 计算从顶点S向底面ABC所引的高 求中心在C 3 5 2 且与平面2x y 3z 11 0相切的球面方程 求与下列两平面距离相等的点的轨迹3x 6y 2z 7 0和4x 3y 5 0 定义3 7 2空间两直线上的点之间的最短距离 叫做这两条直线之间的距离 定义3 7 3与两条异面直线都垂直相交的直线 叫做两异面直线的公垂线 两个交点之间的线段的长叫做公垂线的长 定理3 7 3两异面直线间的距离等于它们公垂线的长 两异面直线间的距离与公垂线方程 直角坐标系 2 4 3两直线的距离 定理3 7 4两异面直线之间的距离公式是 几何意义 两条异面直线之间的距离等于以为棱的平行六面体的体积除以以为邻边的平行四边形的面积 两个异面直线的公垂线方程为 例3已知两直线 试证明两直线与为异面直线 并求与间的距离与它们的公垂线方程 2 4 4角度 两相交平面夹角直线与平面夹角两直线之间夹角 定义 通常取锐角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角 2 4 4两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征 例