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第二章平面向量复习课 1 一 基本概念 1 向量及向量的模 向量的表示方法 1 图形表示 2 字母表示 3 坐标表示 A B 有向线段AB 2 一 基本概念 2 零向量及其特殊性 3 单位向量 3 一 基本概念 4 平行向量 5 相等向量 6 相反向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 在保持长度和方向不变的前提下 向量可以平行移动 平移先后两向量相等任一组平行向量都可平移到同一直线上 共线向量 区分向量平行 共线与几何平行 共线 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 4 1 向量加法的三角形法则 2 向量加法的平行四边形法则 3 向量减法的三角形法则 首尾相连首尾连 首同尾连向被减 共起点 二 基本运算 向量途径 5 4 实数与向量的积 是一个向量 二 基本运算 向量途径 6 5 两个非零向量的数量积 向量数量积的几何意义 可正可负可为零 二 基本运算 向量途径 向量夹角 首要的是通过向量平移 使两个向量共起点 7 e a a e a cos a ba b 0 a b同向a b a b 反向时a b a b a2 a a a 2 a a cos a b a b 平面向量的数量积a b的性质 8 二 基本运算 坐标途径 9 三 两个等价条件 10 四 一个基本定理 平面向量基本定理 利用向量分解的 唯一性 来构建实系数方程组 11 向量的有关概念 五 应用举例 12 例2化简 1 AB MB BO OM 2 AB DA BD BC CA 利用加法减法运算法则 借助结论 AB AP PB AB OB OA AB BC CA 0 进行变形 解 原式 AB BO OM MB AB 0 AB 1 2 原式 AB BD DA BC CA 0 BA AB 五 应用举例 向量加减法则 13 五 应用举例 例3 如图平行四边形OADB的对角线OD AB相交于点C 线段BC上有一点M满足BC 3BM 线段CD上有一点N满足CD 3CN 平面向量基本定理 14 例4 如图 在平行四边形ABCD中 已知 求 1 2 解 所以 所以 1 2 五 应用举例 平面向量的数量积 20 15 五 应用举例 向量共线定理 16 例7 已知a 1 1 求a共线的单位向量 例6 已知平行四边形ABCD的三顶点A 1 3 B 3 1 C 5 2 求第四个顶点D和中心M的坐标 D 1 2 例8 已知向量a 1 5 b 3 2 求a在b方向上的正射影的数量 17 例9已知 且与夹角为120 求 与的夹角 五 应用举例 向量的长度与夹角问题 18 1 k 19 2 反向 五 应用举例 平行与垂直问题 例10 19 练习 1 若a 1 2 b 2 且a与b的夹角为钝角 则 的取值范围是 20 3 在四边形ABCD中 1 1 求四边形ABCD的面积 21 特别注意 由此 当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时 应排除夹角为0或的情况 也就是要进一步说明两向量不共线 22 A 重心外心垂心 B 重心外心内心