【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 9.1平面和空间直线配套课件 理 新人教A版VIP

第一节平面和空间直线 三年12考高考指数 1 理解平面的基本性质 会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 2 能够画出空间两条直线 直线和平面的各种位置关系的图形 能够根据图形想象它们的位置关系 3 掌握两条直线平行和垂直的判定定理和性质定理 4 会用反证法证明简单的问题 1 空间两条直线的位置关系的判断及性质是考查的重点 2 异面直线所成角的作法和求法是重点 也是难点 3 题型以选择题 填空题为主 有时也出现在解答题的某一小问中 1 平面的基本性质 A lB l 且A B 若P P l 且P l A B C不共线 A B C 且 是惟一的 若点Aa 则A和a确定一个平面 a平行于b 有且只有一个平面 使a b a b P 有且只有一个平面 使a b 即时应用 判断下列说法是否正确 请在括号中填 或 1 如果线段AB在平面 内 那么直线AB在平面 内 2 两个不同的平面相交于不在同一直线上的三点A B C 3 若点P不在平面 内 A B C三点都在平面 内 则P A B C四点不在同一平面内 4 若三条直线a b c互相平行且分别交直线l于A B C三点 则这四条直线共面 5 若三条直线两两相交 则这三条直线共面 解析 1 4 正确 对于 2 如果两个平面相交于不在同一直线上的三点A B C 则这两个平面重合 对于 3 当A B C三点在平面 内且共线时 P A B C四点在同一个平面内 对于 5 三棱锥的三条侧棱所在的直线满足条件 但这三条直线不共面 答案 1 2 3 4 5 2 空间两条直线 1 空间两条直线的位置关系有三种 即 2 平行公理及等角定理 平行于同一条直线的两条直线 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两个角 相交 平行 异面 互相平行 相等 3 异面直线 定义 的两条直线叫做异面直线 判定 连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内 的直线是异面直线 公垂线 和两条异面直线都 的直线叫做这两条异面直线的公垂线 不同在任何一个平面内 不经过此点 垂直相交 即时应用 1 判断下列说法是否正确 请在括号中填 或 没有公共点的两条直线是异面直线 分别和两条异面直线都相交的两条直线异面 一条直线和两条异面直线中的一条平行 则它和另一条直线不可能平行 一条直线和两条异面直线都相交 则它们可以确定两个平面 如果一个角的两边和另一个角的两边平行 那么这两个角相等 2 如果两条直线a和b没有公共点 那么a与b的位置关系是 3 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 解析 1 没有公共点的两条直线平行或异面 故 错 命题 错 此时两条直线有可能相交 命题 正确 因为若直线a和b异面 c a 则c与b不可能平行 用反证法证明如下 若c b 又c a 则a b 这与a b异面矛盾 故c不平行于b 命题 也正确 若c与两异面直线a b都相交 由公理3的推论2可知 a c可以确定一个平面 b c也可以确定一个平面 且这两个平面不重合 这样 a b c共确定两个平面 如果一个角的两边和另一个角的两边平行 那么这两个角相等或互补 故 错误 综上可知 错误 正确 2 若直线a和b没有公共点 则a与b平行或异面 3 分别在两个平面内的两条直线可平行 相交 也可异面 答案 1 2 平行或异面 3 平行 相交或异面 3 斜二测画法斜二测画法是借助平面表现空间的主要手法 是水平放置的平面图形的直观图的常用画法 其规则是 在已知图形上取水平平面 取互相垂直的轴Ox Oy 再取Oz轴 使 xOz 且 yOz 画直观图时 把它们画成对应的轴O x O y O z 使 x O y 或 x O z x O y 所确定的平面表示水平平面 90 90 45 135 90 已知图形中平行于x轴 y轴或z轴的线段 在直观图中分别画成 于x 轴 y 轴或z 轴的线段 已知图形中平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持原长度 平行于y轴的线段 长度为原来的 以上特点可总结为 平行性不变 y轴减一半 平行 不变 一半 即时应用 1 判断下列关于斜二测画法的说法是否正确 请在括号中填 或 三角形的直观图是三角形 正方形的直观图是正方形 矩形的直观图是矩形 圆的直观图一定是圆 2 有一块多边形的菜地 它水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 如图 ABC 45 AB AD 1 DC BC 则这块菜地的面积为 解析 1 三角形的直观图是三角形 正方形 矩形的直观图是平行四边形 圆的直观图是椭圆 故 正确 错误 2 由直观图可还原菜地的形状 如图 这块菜地的面积为S 1 1 2 2 答案 1 2 2 点共线与线共点问题 方法点睛 1 三点共线的证明方法证明三点共线 一般先证两点确定的直线是某两平面的交线 再证第三个点是两个平面的一个公共点 证明 点在直线上 三点共线 等问题通常用公理2 此外 还可用 纳入直线法 即先找出两点所在的直线 然后证明第三点也在此直线上 2 三线共点的证明方法 1 证明空间三线共点问题 可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线 然后再证明另两条直线的交点在此直线上 2 解决多线共点的方法 即先证明其中两条直线交于一点 再证明这一点也在其他直线上或其他直线都经过这一点 例1 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是D1C1 C1B1的中点 AC BD P A1C1 EF Q 求证 1 D B F E四点共面 2 若直线A1C交平面DBFE于R点 则P Q R三点共线 解题指南 1 关键是找出两条相互平行的直线 2 证明P Q R三点均在两个不同平面的交线上 规范解答 1 如图 点E F分别是D1C1 C1B1的中点 EF是 D1B1C1的中位线 EF B1D1 在正方体AC1中 B1D1 BD EF BD EF BD确定一个平面 即D B F E四点共面 2 在正方体AC1中 设平面A1ACC1为 设平面DBFE为 Q A1C1 Q 又Q EF Q 则Q是 与 的公共点 同理P也是 与 的公共点 PQ 又A1C R R A1C R 且R 则R PQ 故P Q R三点共线 互动探究 保持例题条件不变 求证 三条直线DE BF CC1相交于一点 证明 E F分别为D1C1 B1C1的中点 EFB1D1 EFBD 四边形DBFE为梯形 从而DE和BF必相交 设交点为M M DE DE 平面DCC1D1 M 平面DCC1D1 同理 M BF BF 平面BCC1B1 M 平面BCC1B1 又 平面DCC1D1 平面BCC1B1 CC1 M CC1 即直线DE BF CC1相交于一点M 反思 感悟 1 因为E F分别为棱C1D1 C1B1的中点 所以考虑利用三角形的中位线转化为证明EF BD是解决问题的关键 2 要证明P Q R三点共线 其手段就是要证明P Q R三点在某两个平面的交线上 因此在解决问题时 可在几何图形中 直线PQ外 找两个不同的点 分别与直线PQ确定两个平面 然后证明这两个平面相交即可 变式备选 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 若E F G H分别为棱AB BC CC1 C1D1的中点 证明 EF HG DC三线共点 2 若对角线A1C与平面BDC1交于点O AC BD交于点M 求证 点C1 O M三点共线 证明 1 如图 连结HE BC1 GF GF BC1 EH E F G H四点共面 又 GF BC1 EH 四边形EFGH为梯形 延长HG EF交于点M 延长DC 则EF HG M M EF M HG 又EF 平面AC HG 平面D1C 且平面AC 平面D1C DC M DC EF HG DC三线共点 2 如图 A1A C1C A1A C1C确定平面A1C A1C 平面A1C O A1C O 平面A1C 而O 平面BDC1 直线A1C O 平面BDC1 O在平面BDC1与平面A1C的交线上 AC BD M M 平面BDC1且M 平面A1C 平面BDC1 平面A1C C1M O C1M 即M O C1三点共线 2 如图所示 已知空间四边形ABCD中 E H分别是边AB AD的中点 F G分别是边BC CD上的点 且 求证 三条直线EF GH AC交于一点 证明 E H分别是AB AD的中点 由中位线定理可知 EHBD 又 在 CBD中 FG BD 且FG BD EH FG 且EH FG 四边形EFGH是梯形 EH FG为上 下两底 两腰EF GH所在直线必相交于一点P P 直线EF EF 平面ABC P 平面ABC 同理可得P 平面ADC P在平面ABC和平面ADC的交线上 又 平面ABC 平面ADC AC P 直线AC 直线EF GH AC交于一点 点线共面问题 方法点睛 证明点线共面的常用方法 1 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关的点 线在此平面内 2 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 与平面 重合 3 反证法 先假设这些点和线不在同一个平面内 然后通过推理找出矛盾 从而否定假设 肯定结论 例2 如图 四边形ABEF和ABCD都是直角梯形 BAD FAB 90 BCAD BEFA G H分别为FA FD的中点 1 证明 四边形BCHG是平行四边形 2 C D F E四点是否共面 为什么 解题指南 1 证明BCHG为平行四边形 只需证明GHBC 2 可证明D点在EF与CH确定的平面内 也可延长FE DC分别与AB的延长线交于M M 然后证明M与M 重合 从而证明FE与DC相交 规范解答 1 由已知可得FG GA FH HD 可得GHAD 又BCAD GHBC 四边形BCHG为平行四边形 2 C D F E四点共面 方法一 由BEAF G为FA的中点知 BEFG 四边形BEFG为平行四边形 EF BG 由 1 知BG CH EF CH EF与CH共面 又D FH C D F E四点共面 方法二 如图 延长FE DC分别与AB的延长线交于点M M M M E A B C D F G H BEAF B为MA的中点 BCAD B为M A的中点 M与M 重合 即FE与DC交于点M M C D F E四点共面 反思 感悟 解决本题时 由于题目条件中G H分别为FA FD的中点 故可考虑用三角形的中位线定理 这也是解决本题的关键及突破口 变式训练 如图是正方体或四面体 P Q R S分别是所在棱的中点 这四个点不共面的一个图是 解析 选D 选项A中PS QR 故共面 选项C中四边形PQRS是平行四边形 故共面 选项B中PS与QR相交 故共面 异面直线问题 方法点睛 判定空间两直线是异面直线的方法 提醒 应用反证法时 两直线不异面的反面的实质是两直线共面 推出矛盾即可 例3 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是A1B1 B1C1的中点 则 1 AM和CN是否是异面直线 说明理由 2 D1B和CC1是否是异面直线 说明理由 解题指南 1 可证明MN AC 从而说明AM与CN不是异面直线 2 可用反证法证明D1B和CC1是异面直线 规范解答 1 不是异面直线 理由 连结MN A1C1 AC M N分别是A1B1 B1C1的中点 MN A1C1 又 A1AC1C 四边形A1ACC1为平行四边形 A1C1 AC 得到MN AC A M N C在同一个平面内 AM和CN不是异面直线 2 是异面直线 理由如下 ABCD A1B1C1D1是正方体 B C C1 D1不共面 假设D1B与CC1不是异面直线 则存在平面 使D1B 平面 CC1 平面 D1 B C C1 与ABCD A1B1C1D1是正方体 B C C1 D1不共面矛盾 假设不成立 D1B与CC1是异面直线 反思 感悟 判断空间两条直线的位置关系 平行 垂直 异面 主要借助空间想象和有关定义 定理 必要时也可通过线面位置关系来推断 变式训练 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 A1A AB E F分别是BD1和AD的中点 证明 EF是异面直线AD和BD1的公垂线 证明 连结BF FD1 EA ED AC1 AD1 BC1如图 AB AA1 F为AD的中点 D1F BF E为BD1的中点 EF BD1 由平行四边形BAD1C1知 E也是AC1的中点 且点E是长方体ABCD A1B1C1D1的对称中心 EA ED EF AD 又EF BD1 EF是异面直线BD1与AD的公垂线 变式备选 如图所示 S是矩形ABCD所在平面外的一点 SA BC SD与BC成30 角 SA a 求证 AD是异面直线SA CD的公垂线段 并求SA与CD之间的距离 解析 在矩形ABCD中 BC AD SA BC SA AD 又CD AD AD是异面直线SA CD的公垂线段 其长度为异面直线SA与CD的距离 在Rt SAD中 SDA是SD与BC所成的角 SDA 30 又SA a AD a 即异面直线SA与CD之间的距离为a 创新探究 平面的基本性质与 割 补 交汇问题 典例 2011 广东高考 如图所示的几何体是将高为2 底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后 将其中一半沿切面向右水平平移后得到的 A A B B 分别为的中点 O1 O 1 O2 O 2分别为CD C D DE D E 的中点 1 证明 O 1 A O2 B四点共面 2 设G为AA 中点 延长A O 1到H 使得O 1H A O 1 证明 BO 2 平面H B G 解题指南 1 要证明O 1 A O2 B四点共面 可转化为证明O 1A O2B 同时可考虑将圆柱还原 2 证明线面垂直的基本思路是转化为证明线线垂直 即证明BO 2与平面H B G内的某两条相交直线垂直 规范解答 1 如图 将两个半圆柱补充为两个圆柱 延长A O 1交圆O 1于点H 延长AO1交圆O1于点H 连结H H O 1O1 O 2O2 由题知O 1H 平移到O 2B O1H平移到O2B 于是O 2B O 1H 又B B 分别是的中点 O 1 A C D E B H O 2 G A C B D H E O1 O2 BO2 B O 2 即BO2 H O 1 BO2 O 1A 故O 1 A O2 B四点共面 2 由点B 是的中点得D E B O 2 又D E O 2O2 B O 2 O 2O2 O 2 D E 平面B O 2O2B 而BO 2 平面B O 2O2B D E BO 2 又H B D E BO 2 H B 另一方面 由平移性质得O 1O 2HB BO 2 HO 1 A G H O 1 H H A H 2 O 1H H GA H GA H O 1H H H O 1H GH A O 1H H G BO 2 H G 又 H G H B H BO 2 平面H B G 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2011 四川高考 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A l1 l2 l2 l3 l1 l3 B l1 l2 l2 l3 l1 l3 C l1 l2 l3 l1 l2 l3共面 D l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共