2021高三数学北师大版（文）：绝对值不等式含解析.doc

教学资料范本2021高三数学北师大版（文）：绝对值不等式含解析编 辑：_时 间：_全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中考查1道解答题、分值10分.2.考查内容高考对本章内容的考查主要体现在以下两个方面：(1)绝对值不等式的求解及绝对值不等式与函数问题的综合；(2)绝对值不等式的恒成立问题及与不等式的证明相结合.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律含绝对值不等式的解法问题；利用绝对值三角不等式求最值问题；不等式的解集与参数问题；证明不等式问题.(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.第一节绝对值不等式最新考纲1.理解绝对值的几何意义、并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a、bR)、|ab|ac|cb|(a、b、cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.(对应学生用书第211页)1绝对值三角不等式定理1：如果a、b是实数、则|ab|a|b|、当且仅当ab0时、等号成立定理2：如果a、b、c是实数、那么|ac|ab|bc|、当且仅当(ab)(bc)0时、等号成立2绝对值不等式的解法(1)|x|a型不等式的解法：不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c、|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解；构造函数、利用函数的图像求解一、思考辨析(正确的打“”、错误的打“”)(1)若|x|c的解集为R、则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(4)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1不等式1|x1|3的解集为()A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0)D(4、2)(0,2)D原不等式等价于1x13或3x11、0x2或4x1的解集；若x(0,1)时、不等式f(x)x成立、求a的取值范围解(1)原不等式可化为或解得x5或x.综上、原不等式的解集是.(2)当a1时、f(x)|x1|x1|、即f(x)故不等式f(x)1的解集为.当x(0,1)时、|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时、|ax1|0、|ax1|1的解集为、所以1、故0a2.综上、a的取值范围为(0,2解答例(2)第问时、求出|ax1|1的解集后、易错误的认为1、导致解题错误教师备选例题已知函数f(x)|x1|2|xa|、a0.(1)当a1时、求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形的面积大于6、求a的取值范围解(1)当a1时、f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时、不等式化为x40、无解；当1x1时、不等式化为3x20、解得x1；当x1时、不等式化为x20、解得1x2.所以f(x)1的解集为.(2)由题设可得、f(x)所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A、B(2a1,0)、C(a、a1)、ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26、故a2.所以a的取值范围为(2、)(20xx全国卷)已知函数f(x)x2ax4、g(x)|x1|x1|.(1)当a1时、求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1、求a的取值范围解(1)当a1时、不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时、式化为x2x40、从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时、g(x)2、所以f(x)g(x)的解集包含1,1、等价于当x1,1时、f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一、所以f(1)2且f(1)2、得1a1.所以a的取值范围为1,1考点2绝对值三角不等式的应用利用绝对值三角不等式求最值(或证明)(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解、特别是用此定理求函数的最值时(2)对于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如y|xa|xb|的函数只有最小值、形如y|xa|xb|的函数既有最大值又有最小值(1)若对于实数x、y有|1x|2、|y1|1、求|2x3y1|的最大值解因为|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7、所以|2x3y1|的最大值为7.(2)若a2、xR、求证：|x1a|xa|3.证明因为|x1a|xa|(x1a)(xa)|2a1|、又a2、故|2a1|3、所以|x1a|xa|3成立逆向问题若|x1a|xa|3、求a的取值范围解|x1a|xa|2a1|、|2a1|3、2a13或2a13、a2或a1、即a的取值范围是(、12、)本例(2)的证明使用了放缩法、即先证明|x1a|xa|2a1|、然后再证明|2a1|3.已知函数f(x)|2x1|、xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对x、yR、有|xy1|、|2y1|、求证：f(x)1.解(1)f(x)|x|1、|2x1|x|1、即或或得x2或0x或无解故不等式f(x)|x|1的解集为x|0x2(2)证明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y1|21.故不等式f(x)1得证考点3绝对值不等式的综合应用两招解不等式问题中的含参问题(1)问题转化把存在性问题转化为求最值问题、即f(x)a有解f(x)maxa.不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；不等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题、此类问题都可转化为最值问题、即f(x)a恒成立af(x)max、f(x)a恒成立af(x)min.(2)求最值求含绝对值的函数最值时、常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝对值三角不等式、即|a|b|ab|a|b|；利用零点分区间法(20xx合肥模拟)已知函数f(x)|2x1|.(1)解关于x的不等式f(x)f(x1)1；(2)若关于x的不等式f(x)mf(x1)的解集不是空集、求m的取值范围解(1)f(x)f(x1)1|2x1|2x1|1、则或或解得x或x、即x、所以原不等式的解集为.(2)由条件知、不等式|2x1|2x1|m有解、则m(|2x1|2x1|)min即可由于|2x1|2x1|12x|2x1|12x(2x1)|2、当且仅当(12x)(2x1)0、即x时等号成立、故m2.所以m的取值范围是(2、)本例第(2)问中不等式f(x)mf(x1)的解集不是空集、即不等式有解、是存在性问题、可转化为mf(x)f(x1)min.教师备选例题(20xx全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空、求m的取值范围解(1)f(x)当x1时、f(x)1无解；当1x2时、由f(x)1、得2x11、解得1x2；当x2时、由f(x)1、解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm、得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|、且当x时、|x1|x2|x2x、故m的取值范围为.1.(20xx洛阳模拟)已知函数f(x)|x5|.(1)解不等式：f(x)f(x2)3；(2)若a0、求证：f(ax)f(5a)af(x)解(1)不等式化为|x5|x3|3.当x3时、原不等式等价于2x5、即x3；当3x5时、原不等式等价于23、即3x5；当x5时、原不等式等价于2x83、即5x.综上、原不等式的解集为.(2)证明：由题意得f(ax)af(x)|ax5|a|x5|ax5|ax5a|ax5|ax5a|ax5ax5a|5a5|f(5a)所以f(ax)f(5a)af(x)成立2已知函数